Многомерной случайной величиной называют совокупность случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Она задается несколькими числами, рассматриваемыми совместно.
Многомерные случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и смешанными.
Двумерная дискретная случайная величина (X, У) задается таблицей распределения, как совокупность пар значений (Х = хi, У = уj) и соответствующих им вероятностей , .
, , ,
. (9.1)
Условные вероятности и находятся по формулам:
. (9.2)
Многомерные случайные величины задаются функциями распределения.
, (9.3)
, ,
, (9.4)
, (9.5)
Для написания двумерной случайной величины используют математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения составляющих Х и У, а также корреляционный момент (ковариацию) cov(x,y) и коэффициент корреляции (r)
.
Для дискретных случайных величин Х, У:
.
Для непрерывных случайных величин Х, У:
.
Коэффициент корреляции случайных величин Х и У:
.
1. В группе 8 мужчин и 5 женщин. Наугад отбирается 2 человека из группы. Составить совместный закон распределения случайных величин (Х, У), где Х – случайная величина, отобран мужчина, У – отобрана женщина. Определить коэффициент корреляции между Х и У.
2. В первой группе 8 мужчин из которых 5 занимаются спортом, во второй 6 женщин из которых две занимаются спортом. Из каждой группы случайно отобрано по одному человеку. Составить совместное распределение случайных величин (Х, У), где Х – отобранный из первой группы мужчин занимается спортом, У – отобранная из второй группы женщин занимается спортом. Зависимы ли случайные величины Х и У?
3. Задана двумерная дискретная случайная величина:
а) б)
| У | Х | У | Х | |||
| 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,25 | |||
| 0,2 | 0,15 | 0,15 | 0,2 | |||
| 0,15 | 0,1 | 0,05 | 0,25 |
Определить:
а) законы распределения составляющих случайных величин;
б) математическое ожидание, дисперсию и средние квадратическое отклонение составляющих Х и У;
в) условный закон распределения случайной величины У, если Х = 2;
г) условный закон распределения случайной величины Х, если У = 5.
4. Задана двумерная дискретная случайная величина:
а) б)
| У | Х | У | Х | |||||
| -1 | ||||||||
| 0,15 | 0,2 | 0,10 | 0,1 | 0,15 | 0,1 | |||
| 0,10 | 0,3 | 0,15 | 0,05 | 0,4 | 0,2 |
Определить:
а) законы распределения составляющих;
б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение составляющих случайных величин Х и У;
5. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Определить:
а) двумерную плотность вероятности системы (Х, У);
б) вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = 3.
6. Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 3, у = 5, если известна функция распределения:
7. Задана функция распределения двумерной случайной величины:
Найти двумерную плотность вероятности системы (Х, У).
8. Распределение хозяйств по дозам внесения удобрений и урожайности озимой пшеницы приведено в следующей таблице:
| Дозы удобрений на 1 га, ц д.в. | Урожайность, ц с 1 га | |||
| до 30 | 30-35 | 35-40 | Свыше 40 | |
| до 1 | а | - | ||
| 1-2 | а | |||
| свыше 2 | - | а |
Найти безусловные и условные законы распределения случайных величин урожайности (Х) и доз внесения удобрений (У), (а - номер по указанию)
9. Система случайных величин (Х, У) подчинена закону распределения с плотностью в квадрате и
вне квадрата.
Определить: а) коэффициент а; б) М(Х), М(У); в) Д(Х), Д(У).
10. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной
случайной величины в квадрате и вне квадрата. Доказать, что составляющие Х и У независимы.
11.Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно внутри треугольника с вершинами О (0,0), А (0,6) и В (6,0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих систем.
12.Система случайных величин (Х,У) распределена равномерно внутри квадрата со стороной а, диагонали которого совпадают с осями координат. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих системы.
13. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной
случайной величины (Х,У):
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
14.Система случайных величин (Х,У) равномерно распределена в
треугольнике, ограниченном прямыми х=0, у=0, х+у=а (а>0). Определить: а) математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У, б) корреляционный момент.
15.Заданы плотности распределения независимых составляющих
непрерывной случайной величины (Х,У):
Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.
16. Доказать, что если Х и У связаны линейной зависимостью, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1.
10. Цепи Маркова
Результаты различных экспериментов или испытаний могут быть представлены в виде определенной последовательности букв или цифр, которые рассматриваются как процессы перехода от одного состояния в другое. Можно оценить вероятность такого перехода. Модель случайного процесса объединяет множество состояний и множество вероятностей перехода из одного состояния в другое.
Множество (пространство) состояний может быть конечным и бесконечным. Последовательность состояний образует цепь Маркова, если в отдельном испытании система принимает одно из возможных состояний, не зависящее от результатов ранее произведенных испытаний.
Вероятность , есть условная вероятность перехода случайного процесса из состояния Si в состояние за один шаг. Так как она не зависит от номера испытания, то может обозначаться через . Первый индекс указывает номер предшествующего, а второй – последующего состояния. Если известны вероятности для любой пары состояния, то они могут быть представлены квадратной матрицей перехода.
, где - элемент (вероятность), стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
Вероятность перехода процесса из состояния S в состояние S за n шагов обозначается , а квадратная матрица всех этих вероятностей обозначается . Вероятность перехода процесса из состояния i в состояние j за два шага вычисляется по формуле полной вероятности.
или в матричной записи .
Аналогично получается матрица перехода за три шага и за n – шагов .
1. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова задаются матрицей:
а) б) .
Найти число состояний системы. Построить граф, соответствующий матрице р.
2. Задана матрица вероятностей переходов
Каковы пределы изменений р и S.
3. В урне имеется 5 белых и черных шаров. Из урны случайно
извлекаются один шар, а обратно в урну возвращается один шар другого цвета. Опыт повторяется неоднократно. Найти матрицу переходных вероятностей, состояниями которой является количество белых шаров в урне. Найти вероятности перехода за два шага.
4. Игральная кость перекладывается многократно с равной вероятностью
случайным образом с одной грани на любую из соседних четырех граней, независимо от исхода предыдущего испытания. К какому пределу стремится при вероятность того, что в момент времени t игральная кость лежит на грани «5», если в момент времени t=0, она находится в этом же положении?
5. Имеется пять стульев, расположенных один после другого. Человек пересаживается с одного стула на рядом стоящий, причем эти перемещения определяются бросанием правильной игральной кости. Стулья обозначены буквами А,В,С,Д,Е. Вначале он сидит на среднем стуле С. Если человек сидит на крайнем стуле, то: возвращается на стул С, когда выпадет четное число очков; остается на том же месте при выпадении нечетного числа очков.
Если он сидит не на крайнем стуле, то: перемещается налево при выпадении одного или двух очков; перемещается направо при выпадении трех или четырех очков; остается на том же месте при выпадении пяти или шести очков. Найти: а) матрицу вероятностей переходов за один шаг; б) вероятности следующих последовательностей: С,Д,Е,С,Д,А,С; С,В,Д,Е,Е,А; С,В,А,А,С,Д; С,Д,Е,С,Е,С; А,А,С,Д,Е,Е.
6. Студент, для получения профессионального образования, обучается в
колледже в течение трех лет. Ежегодно он сдает комплексный экзамен. Если студент успешно сдаст экзамен, то он переводится на следующий курс или заканчивает колледж с дипломом специалиста. Если студент экзамен не сдает, то он остается на соответствующем курсе второй год. Вероятность успешной сдачи экзамена на первом году обучения составляет 0,7; втором – 0,8; третьем – 0,9. а) Указать подходящее число состояний системы. б) Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг для ежегодных передвижений студента по курсам (первый, второй, третий год обучения, окончание колледжа). в) Определить вероятность, что студент будет обучаться на третьем курсе после сдачи второго экзамена. г) Определить среднее число лет, которые студент проводит в колледже.