Ряд значений (вариант) признака, расположенных в порядке возрастания или убывания с соответствующими им весами (частотами или частостями), называется вариационными рядом (рядом распределения). Частота (ni) показывает сколько раз встречается тот или иной вариант (значение признака) в статистической совокупности. Частость или относительная частота (wi) показывает, какая часть единиц совокупности принимает определенное значение или из интервала значений. В дискретных рядах перечисляются возможные значения признака . Если признак непрерывный или число значений дискретного признака велико, то строят интервальный ряд распределения, в котором значения признака задаются в виде интервалов. При построении интервального ряда распределения число интервалов можно определить по формуле Стэрджесса: k=1+3,322 lg n, где n – число единиц совокупности. Величина интервала (h) определяется по формуле
(8.1)
Дискретный ряд распределения можно изобразить графически в виде полигона распределения частот или частостей. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат - соответствующие им частоты или частости. Полученные точки соединяются отрезками.
Интервальные ряды изображают в виде гистограммы – фигуры, состоящей из прямоугольников. По оси абсцисс откладываются значения признака (границы интервалов), по оси ординат – частоты или частости.
Дискретные и интервальные ряды можно графически представить в виде кумуляты или огивы. При построении кумуляты, в отличии от полигона, по оси ординат откладываются накопленные частоты или частости. При построении огивы на оси абсцисс наносятся точки, соответствующие накопленным частотам или частостям, а по оси ординат значения признака.
Основной числовой характеристикой вариационного ряда является средняя арифметическая:
. (8.2)
Модой вариационного ряда называется значение признака, которое имеет наибольшую частоту.
Медиана – значения признака у той единицы совокупности, которая делит вариационный ряд пополам.
В интервальных вариационных рядах с равным интервалами, мода и медиана определяется по следующим формулам:
; (8.3)
(8.4)
где - нижняя граница модального и медиального интервалов;
h- величина интервалов;
соответственно частота предмодального, модального и послемодального интервалов;
накопленная частота интервала, предыдущего медианному интервалу.
Характеристики вариационного ряда могут быть рассчитаны с помощью моментов распределения.
Моментом распределения называется средняя арифметическая к-ых степеней отклонений значений признака от определенной величины С.
(8.5)
Обычно к = 0,1,2,3,4.
Если С = 0, то момент называется начальным
(8.6)
Если С = , то момент называется центральным
(8.7)
Центральные моменты можно рассчитать через начальные, используя формулы:
В качестве меры симметричности ряда распределения применяется коэффициент асимметрии:
(8.10)
где - центральный момент третьего порядка.
Если = 0, то ряд является симметричным;
если < 0, то ряд с левосторонней асимметрией;
если > 0, то ряд с правосторонней симметрией.
Мерой крутости (островершинности) ряда распределения является эксцесс: (8.11)
где m4 – центральный момент четвертого порядка.
Если Э 0, то распределение средневершинное;
если Э < 0, то распределение островершинное;
если Э > 0, то распределение плосковершинное.
Колеблемость признака характеризуется с помощью показателей вариации.
Дисперсия: - простая; (8.12)
- взвешенная. (8.13)
Среднее квадратичное отклонение: . (8.14)
Коэффициент вариации: (8.15)
Если V > 33%, то считается, что совокупность может быть статистически неоднородной в отношении данного признака.
1. По списку на предприятии числится 100 рабочих, которые имеют следующие разряды:
1,5,2,4,3,4,6,4,5,1,2,2,3,4,5,3,4,5,2,1,4,5,5,4,3,4,6,1,2,4,4,3,5,6,4,3,3,1,3,4,3,1,2,4,4,5,6,1,3,4,5,3,4,4,3,2,6,1,2,4,5,3,3,2,3,6,4,3,4,5,4,3,3,2,6,3,3,4,5,4,4,3,3,2,1,2,1,6,5,4,3,2,3,4,4,3,5,6,1,5.
Составить ряд распределения рабочих по разрядам. Найти накопленные частоты и частости. Вариационный ряд изобразить графически. Определить средний разряд рабочего, модальный и медианный разряд, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2. Имеются следующие данные о числе производственных рабочих на каждом из 100 крестьянских (фермерских) хозяйств:
2,4,5,3,4,6,7,4,5,3,3,4,2,6,5,4,7,2,3,4,4,5,4,3,4,6,6,5,2,3,4,3,5,6,7,2,4,3,4,5,4,6,7,2,5,3,5,4,3,7,2,4,3,4,5,4,3,2,6,7,6,4,3,2,3,4,5,4,3,5,4,3,2,6,4,5,7,5,4,3,4,5,7,4,3,4,5,6,5,3,4,2,2,4,3,7,5,6,4,5.
Составить ряд распределения крестьянских (фермерских) хозяйств по числу производственных рабочих на одно хозяйство. Найти накопленные частоты и частости. Вариационный ряд изобразить графически.
Определить среднее число производственных рабочих на одно хозяйство, модальное и медианное значения числа рабочих, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации..
3. По данным приложения 4 по одному из следующих показателей
составить интервальный вариационный ряд с равными интервалами:
1) площадь сельскохозяйственных угодий, га; 2) материальные затраты, млн. руб.; 3) среднегодовая численность работников, чел.; 4) энергетические мощности, л.с.; 5) затраты на производство продукции, млн. руб.; 6) затраты на реализованную продукцию, млн. руб.; 7) среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.; 8) валовая продукция млн. руб.; 9) реализованная продукция, млн. руб.; 10) затраты по оплате труда, млн. руб.; 11) валовой доход, млн. руб.; 12) прибыль от реализации продукции, млн. руб.; 13) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий, чел.; 14) основные фонды на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 15) энергетические мощности на среднегодового работника, л.с.; 16) прибыль на 100 га сельхозугодий, млн.руб.;
17) затраты на производство на 100 га сельхозугодий, млн. руб.;
18) материальные затраты на 100 га сельхозугодий, млн.руб.; 19) затраты на реализованную продукцию на 100 га сельхозугодий, млн. руб.;
20) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий млн. руб.; 21) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий, л.с.; 22) валовая продукция сельского хозяйства на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 23) основные фонды на среднегодового работника, тыс. руб.; 24) валовая продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, тыс. руб.; 25) реализованная продукция на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 26) затраты по оплате труда на среднегодового работника, тыс. руб.; 27) реализованная продукция на среднегодового работника, тыс. руб.; 28) затраты по реализованной продукции на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 29) площадь сельхозугодий на среднегодового работника, га.; 30) валовой доход на 100 га сельхозугодий, млн. руб.
Найти накопленные частоты и частости. Ряд распределения изобразить графически. Определить моду, медиану, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс. Сделать выводы по результатам расчетов.
4. Определить абсолютную и относительную плотность распределения работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии.
Распределение работников по стажу работы
Стаж работы, лет | До 1 | 1-5 | 5-10 | 10-20 | 20-40 | Всего |
Число работников |
Найти средний стаж работы, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
5. Путем устного опроса изучалось качество продукции, выпускаемой фирмой и реализуемой в магазине этой фирмы. Посетители давали оценку качества по десятибалльной шкале.
Бальная оценка продукции предприятия
Оценка качества продукции, балл | 1-2 | 3-4 | 5-6 | 7-8 | 9-10 |
Число случаев |
Определить средний балл качества продукции, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, показатели асимметрии и эксцесса.
6. Имеются следующие данные о площади посева овощей в хозяйствах совокупности районов.
Площадь посева овощей на хозяйство, га
Район | Номер хозяйства | ||||||
- | |||||||
- | |||||||
- | |||||||
- | |||||||
- | |||||||
Дать сравнительную оценку колеблемости площади посева овощей в хозяйствах двух районов.
7. По данным распределения студентов по результатам сдачи экзаменов определить: а) средний балл успеваемости студентов по каждому предмету и по всем предметам; б) дисперсии балла успеваемости по предмету и в целом по всем предметам; в) межгрупповую дисперсию. Найти общую дисперсию успеваемости, используя правило сложения дисперсий.
Распределение студентов группы по результатам сдачи экзаменов
Оценка | Число студентов, получивших оценку по предметам | |||
8. Работники предприятия сгруппированы по возрасту.
Распределение работников предприятия по возрасту
Категория работников | Возраст работников, лет | Всего | |||||
До 30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | свыше 60 | работников | ||
Рабочие | |||||||
Руководители | |||||||
Специалисты | |||||||
Всего работников | |||||||
Определить: а) средний возраст работников предприятия в целом и по категориям: б) модальное и медианное значения возраста работников по категориям и предприятию; в) дисперсию и среднее квадратическое отклонение возраста по категориям работников и предприятию; г) межгрупповую дисперсию возраста работников. Найти общую дисперсию возраста работников, используя правило сложения дисперсий.