Частные производные 2-го порядка

Частные производные 2-го порядка.

Т.о, Если вспомнить определение производной функции одной переменной, то  

Теоремы о дифференцировании сложной функции 2ух переменных.

Если Ƶ=f(x,y) и x=x(t), y=y(t), то производная - интеграл Пуасона - интеграл Кринеля 25. Понятие несобственных интегралов I рода. Пример интеграл Дирихле I рода.

Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.

Рассмотрим НИ-II. Они возникают, если пытаться на конечном отрезке интегрирования [a,b] интегрировать разрывную подынтегральную функцию.

Пример: dx =

Интеграл вычислен с ошибкой. Подынтегральная функция y= в точке = 0 имеет разрыв 2 рода, =0 принадлежит [-1,1]. Т.е. подынтегральная функция является разрывной на отрезке интегрирования [-1,1], следовательно, нарушается условие теоремы Ньютона-Лейбница, поэтому решение не верно. Для того, чтобы решить НИ-II необходимо знать как он определяется.

Возможны 2 случая:

1) НИ-II расходится

2) НИ-II сходится к какому-то члену

Пример:

y=f(x), x принадлежит [-1,1]

Найдём отдельно =

=

Аналогично . Т.к. оба предела равны ∞, то НИ : расходится.

Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения

Порядком ДУ называется наивысший порядок входящей в него производной. Для того, чтоб уравнение было дифференциальным необходимо, чтоб в него входила… Решением ДУ является всякая функция y=f(x), которая будучи подставленной в…

ДУ-1

F(x, y, ) = 0

yобщ=ϕ(х,с) – общее решение

y= ϕ(х,с) называется общим решением ДУ-1, если она удовлетворяет устоловиям:

1) прилюбых значениях С функция y= ϕ(х,с) является решением уравнения первого порядка.

2) для любых начальных условий (х0;у0) принадлежит D существует такое значение постоянной С, что выполняется равенство у0= ϕ(х0,С)

Если в общем решении ДУ-1 зафиксировать произвольную С, то получим так называемое частное решение. Т.о. общее решение ДУ состоит из совокупности всевозможных частных решений.

 

Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

 

y=f(x)

 

С помощью неопред. интеграла находится любая первообразная y=f(x), кот. будем обознач. F(x). Первообразная для ф-ции y=f(x) наз. функция w= F(x) такая, что производная . По определению неопред. интеграла (1) По определению (1) константа Сопределяет любую первообразную.

Пример: y=f(x)=cosx

 

 

 

Фактически правая часть ф-лы(1) определяет семейство первообразных. Таким образом для нахождения неопред. Интеграла какой-либо ф-ции необходимо найти её любую первообразную и в ответ записать сумму найденных первообразных константы С.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.ò0dх=С.

2. òх^adх= +С, a¹-1.

3. ò ln|х|+С,

4. , следствие

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.

Если y=f(x) зависит от дифференцируемой ф-ции x=φ(t), то неопред. интеграл . Доказательство этой ф-лы опирается на теорему сложной ф-ции.

Пр:

Св-ва дифф-ла: , применяя эту ф-лу удобнее использовать метод внесения под знак дифф-ла, а уже затем замену переменной.

Пр: . Сформируем под знаком дифф-ла выражение, стоящее под корнем.

 

Метод интегрирования по частям. Примеры.

Теорема:если ф-ции uиvдифференцируемы, а также дифференцируемо их произведение, то интеграл от udv равен

 

Док-во: найдем дифф-л произведения ф-ции uv

d(uv)=udv+vdu

udv=d(uv)-vdu интегрируем обе части равенства

 

(1)

Суть этой ф-лы состоит в том, что при правильном выборе ф-ции uиv, стоящий в правой части интеграл форм. должен оказаться проще, чем исходный интеграл в левой части

Пр:

При восстановлении ф-ции v с помощью интегрирования в ф-ле интегрирования по частям константу С полагают равную 0 или не пишут.

При применении ф-лы(1) для того, чтобы интеграл vdu стал проще исходного интеграла, необходимоправильно выбирать в исходном интеграле ф-цииuиdv.

Общая рекомендация по выбору ф-ции u: ф-ция uдолжна быть выбрана с учётом того, что её производная или дифф-л должны бытьпроще самой ф-ции. Общая рекомендация распадается на более конкретные рекомендации.

В интегралах вида -многочлен степени nот переменной x

В этих 0интегралах в качестве u выбирают , всё остальное dv.

Если -многочлен степени выше первой, то ф-лу интегрирования по частям нужно применять неоднократно!

В интегралах вида

, в качестве uвыбирается lnx, всё остальное dv.

В интегралах вида

, в качестве u выбирают обратные тригонометрич. выраж., всё остальное.

Структура общего решения линейного однородного

Дифференциального уравнения II порядка.

если f(x)=0, то уравнение называется однородным. В случае если у однородного уравнения p(x) и q(x)- const. То уравнение примет вид y’’ + py’ + qy = 0 , которое называется ЛОДУ II

Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)

Нахождения общего решения ОЛДУ II с постоянными коэффициентами.

так называемого характеристического уравнения, с помощью которого ищется у1 и у2, а=> и общее решение уравнения y’’ + py’ + qy = 0… Суть метода состоит в том что вместо исходного ДУ (1)

Структура общего решения линейного неоднородного

Дифференциального уравнения II порядка.

yoн=yoo+yчн ,где yoo – общее решение соотв. однородного ДУ yчн – какое-то частное решение ур-я (1) yoн – общее решение (1)

Метод вариации произвольной постоянной.

Для решения (1) Ла Гранже и был предложен универсальный метод. суть: он предложил искать решение неоднородного ур-я в том же виде что и решение… фактически для нахождения yон необходимо найти y1 и y2 из решения соотв.… y’он=(с1(x)y1+с2(x)y2)’=(с1(x)y1)’+(с2(x)y2)’=с1’(x)y1+с1(x)y1’+с2’(x)y2+с2(x)y2’ т.к вместо С1 и C2(констант) стали…

Двукратное интегрирование по частям на примере

В интегралах вида применяется двукратное интегрирование по частям, где uи dv могут быть выбраны произвольным образом, но при повторном интегрировании, также как при первом.

Точно также .

Пример:

 

А

 

 

 

 

Двукратное интегрирование по частям в данном интеграле с постоянным выбором uиvпривёл нас в итоге к исходному интегралу, перенося кот. из прав. части в левую и приводя подобные, находим ответ.

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.

Интегралы вида , берутся с помощью замены переменной, предварительно выделив в многочлене полный квадрат.

Пр:

Для нахождения интеграла типа необходимо выполнить следующий алгоритм:

1)находим производную квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе, т.е.

2)формируем эту производную в числителе под интегральной ф-цией

3)разбиваем полученный интеграл на 2 вида

Второй интеграл типа 1, а первый интеграл берётся поднесением под знак дифф-ла

Пр:

 

35. Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.

Ряд- a₁+a₂+…+a_n+… (1), где в зависимости от стр-ры общего члена ряда an ф-ла (1) может описывать как числовой ряд, если a_n задается числовой формулой или (1) – функциональный ряд, если a_n задается функцией.

Классификация рядов:

1.числовые и функциональные:

· числовые: a₁+a₂+…+a_n+…

· функциональные:

2.расходящиеся и сходящиеся

3.Числовые ряды делятся на знакопостоянные и знакопеременные (знакочередующиеся)

Также приведем некоторые примеры числовых рядов, имеющих важное практическое значение:

1.0+0+…+0+…= = 0 – ряд сходится

2. = -1+1-1+1-1… - знакочередующийся

S_n=

= ряд расходится

 

3.1 + ½ + 1/3 + 1/4 + … +1/n+… = - гармонический ряд, расходящийся

4.Примером ряда может служить сумма бесконечная геометрическая прогрессия виды:

a+ a*q+a*q²+…+a*q^n-1+… = , a≠0

 

Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида

Если в ряде a1+a2+…+an+… (1) взять сумму первых n-слагаемых, то получим n-ую частичную сумму ряда (Sn) Sn=a1+a2+…an(2) Ряд (1) называется сходящимся, если сущ-ет конечный предел при n→∞, n-ой частичной суммы ряда, т.е.: =S…

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд - сход., то предел общего члена при n→∞=0

Док-во:рассмотрим n-ую частичную сумму ряда и (n-1)-ую частичную сумму ряда:

 

 

 

Возьмём предел обеих частей равенства:

 

 

 

 

 

Признаки сравнения для знакоположительных рядов.

Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,… для которых , то 1ый ряд наз-сяможарируемым, а 2ой – можарантным. Если 2ой ряд сход-ся, то сход-ся и 1й ряд. Если 1 ряд расх-ся, то расх-ся и 2ой ряд.

Признак Даламбера и Коши для знакоположительных рядов. Примеры.

Признак Даламбера:Для ряда вычисляется предел отношения и сравнивается с 1.

1) Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся

2) Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся

3) Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.

Пример: исследовать на сход-ть ряд

,

По признаку Даламбера ряд сход-ся.

Признак Коши:

Для ряда вычисляется предел и сравниваем его с 1.

1) Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся

2) Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся

3) Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.

Пример: исследовать на сход-ть ряд

следовательно ряд сх-ся.

 

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого члена: S<=

Пример . Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

знакочередование выполнено , ,

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условнo

 

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа

Если ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно. . В случае, если ряд сходится при отсутствии… Знакочер-ся ряды называются рядами л.типа, если они удовлетворены двум… 1) .

Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда

Пусть члены ряда положительны и убывают, т.е. и пусть f(x)непрерывная, положительная убывающая функция, определённая для х>=1 и такая, что f(1)= , f(2)= ,…,f(n)= ,…,тогда и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Исследуем вопрос о сходимости ряда . Решение. Применим интегральный признак сходимости, тогда Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим несобственный интеграл

1.Если , то =

2. Если .

Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл

 

поэтому и ряд, который является обобщенным гармоническим

 

ДУ с разделяющимися переменными. Пример

Уравнения вида y’ =f₁(x)f₂(y) называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в уравнение с разделенными переменными. Это : dx/f₂(y), тогда уравнения запишутся так: dy/f2(y)=f1(x)dx. Проинтегрируем ∫dy/f2(y)=∫f1(x)dx. После получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функции f2(y) решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение .

Разделим переменные:

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

Осталось лишь выразить у через х :

Найдем также нулевые решения:

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка и уравнения Бернулли.

Лин. Однород.-это ур-е с раздел-ся переменными, его общее решение выражается формулой у=Се-∫p(x)dx. Для реш-я лин неоднород ур-я можно… у=С(х) е-∫p(x)dx. Уравнением Бернулли наз-ся ур-е вида y’+p(X)y=q(x)yα, где α-действительное число. В случае α=0,α=1…

Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.

1) Ин-л вида , где R обозначена рац. ф-ция своих аргументов сводиться к ин-лу от дробно-рац. ф-ции с помощью замены переменной ; = , где S – наим. общ. кратное показателей всех корней, входящих в подинтеграл. ф-цию S=НОК(k,m,…n)

Пр: = = = 6 = 6 = 6 + c=6 =6 +C

2) В и-лах вида вводится подстановка t= с помощью которой и-л рационализируется, т. е. сводится к предыдущему методу.

3) И-лы, связанные с подстановкой Эйлера.

 

Свойства определенного интеграла.

1. Значение опред. и-ла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е. . 2. 0. В граф.иллюстрации этого случая (a=b) отрезок ab вырождается в точку,… 3.

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

  y     …    

Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.

Инт-лы вида рационализируются с помощью универсальной тригонометр. подстановки t=tg . Выразим осн. тригоном. ф-ции через t , т.е. с помощью унив. триг. подст.

 

 

;

; ; ;

Пр:

 

19.Св-ва опред. И:теорема об интегрировании нерав-в,теоремы об оценке И.

Теорема об интегрир.нерав-в: если в люб.т.Хотр [а;в] выполн.нерав.f(х)≤g(х), т ф-цииf(x) и g(x),интегрируемые на отр. [а;в] и выполн.нерав. .

у

х

y=g(x)

y=f(x)

S1

S₁≤S_2.Теоремы об оценке И:1)если на отр.[а;в]

ф-ция удов. нерав. m≤f(x)≤M,то опред.И

удов.нерав.m(в-а)≤ .

Док-во: проинтегр.наотр[а;в] всё нерав: .Но по св-ву линейности в лев и прав И выносим mи M за И: m(в-а)≤ ≤M(в-а) 2)если y=f(x) интегрируема на отр[а;в],│ │<

 

20.Теорема о среднем.Её геометр. и эк.интерпритац.

Если ф-ция у=f(x)непрерыв. на отр[а;в],,то на нём сущ.т.С,такая,что И . Док-во:т.к. ф-ция,непрерыв.наотр[а;в],достиг. на нём своего наим. и наиб. знач.,кот. мы обознач. соотв. mи M,то m≤f(x)≤M. На основании теор.об оценке И (1): m(в-а)≤ ≤M(в-а)

Разделим обе части на вел-ну (в-а)>0.Имеем:m≤ ≤M. Число заключено м/дуmaxи minзнач. ф-ии на отр[а;в],а т.к.ф-циянепрерыв. на этом отр.,то на нём она приним.всезнач.,заключ. м/дуm и M=>на этом отр.найдётсявнутр. тС,в кот. f(C)= .

h AQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4 /SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQCU OcG73wEAAOEDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAA IQDUazUD2QAAAAUBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAADkEAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQA BADzAAAAPwUAAAAA " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>

у=f(x)

f(C)

 

а с в

f(C)(в-а)=Sпрямоуг.; =Sкриволинейн.трап. ТО суть теоремы в том,что на отр.[а;в]для у=f(x) найдётся т.С,такая,чтоSпрямоуг.,постр.на высоте f(С)и ширине (в-а),равновелика Sкр.трап,пост. С помощью у=f(х),прямых х=а,х=в и отр.[а;в].В эк.эта теорема нашла своё применение для нахожд.сред.изд.пр-ва(АС= ),где К(х)-ф-ция,задающая изд.пр-ва,где х- Vвып.прод-цыи.

 

Формула Ньютона-Лейбница

Замена перемен. в опред.И.Интегрир.по частям

=4arcsin = ; = ; (*)=- - =  

Понятие фнп.ее обл определения. Пределы фдп в точке. Непрерывность фдп в точке. Примеры

ФНПz=f(x,y)	Примеры тут
Правило, по кот паре независперем Х, У ствится в соотв-е определен. значZ-зависимая перем. D(z)=мно-во всевозможн пар х ,y при кот ф-ция имеет смысл	ф имеет действитзнач если или Линия круга пунктиром, т.к строгий знак!!!
График фнп в пространстве-поверхность.
(М-точка)или Трудность вычисл предел ФДП связано с вар-в попадания из т. М(х,у) в фиксир т. М0(х0,у0)	вычисляем Ф определена и непрерывна на всей плоскости поэтому предел этой ф равен знач ф точке (2;3). Т.е
Z=f(x,y) непрерыв в т. М0(х0,у0) если или

Частное приращение фдп. Частная производная фнп по одной из этих переменных. Примеры

Δх и Δу-независим перем-ые. Δz- зависим. Δх=х-хо, Δу=у-уо.

Δz= -полное приращ

-частное приращ ф. по перемещ-ию из М(х0,у0) в М0по перем-ой х

-по переменной у.

Очевидно, полное приращ фдп не равно алгебр сумме частн приращ по перем х и у.

 

Частная производная фдп по х

 

Таким образом, для фдп сущ-ет 2 частн произв первого порядка. ­­

Примернах-я частной производной

 

,

2.Формируем эту произв-ю в числителе подынтегральной функции

3.Разбиваем этот интеграл на два, вида: под знак дифф-ла:

Пр.: ( ,