І. Які з відношень завдань XXVIІ-XXІX до попереднього розділу є відношен-нями: 1) часткового порядку, 2) строгого порядку, 3) передпорядку, 4) лінійного порядку, 5) повного порядку.
ІІ. Побудувати частково упорядковану множину, яка має:
1) найменший елемент, максимальний елемент й не має найбільшого елементу;
2) мінімальний елемент й не має найменшого елемента;
3) два мінімальних та два максимальних елемента.
ІІІ. Побудувати відношення часткового порядку на множині:
1) мешканців одного міста;
2) трикутників на площині;
3) поліномів порядку n від однієї змінної;
4) спектаклів з репертуару одного театру;
5) назв населених пунктів України;
6) літаків, приписаних до одного аеропорту;
7) Z2.
IV. Побудувати:
1) на множині літер українського алфавіту частковий порядок, який не є лінійним;
2) відношення строгого порядку на множині студентів однієї групи;
3) передпорядок на множині студентів одного університету,
4) передпорядок на множині N2.
V. Побудувати відношення лінійного порядку на множині:
1) {+,-,*,,!},
2) P({а,b,cd},
3) N2,
4) NÈN2,
5) комплексних чисел,
6) A2, де A={u,v,w,z,x},
7) слів орфографічного словника,
8) учнів школи,
9) країн світу.
VІ. Побудувати такий лінійний порядок R на множині натуральних чисел, що існує найбільший елемент відносно R.
VІІ. Побудувати повний порядок на множині:
1) вулиць Києва,
2) цілих від’ємних чисел,
3) цілих чисел Z.
VІІІ. Довести, що iA є частковий порядок на множині А.
ІХ. Нехай £B, £A – часткові порядки на множинах B та A відповідно. Довести, що <a1,b1> £ <a2,b2> Û a1 £A a2 й b1 £B b2 – частковий порядок на A*B.
Х. Показати, що якщо відношення R на множині А іррефлексивне та транзитивне, то відношення R1 на А, таке що xR1y Û xRy або x=y, є частковим порядком на А.
ХІ. Нехай A – непорожня частково упорядкована множина, що має n елементів. Довести, що А містить мінімальний та максимальний елементи.
ХІІ. 1) Нехай £ – частковий порядок на множині А. Визначимо на А відно-шення R: xRy Û x£y й x¹y. Довести, що R – строгий порядок на А.
2) Нехай < – строгий порядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy Û x<y або x=y. Довести, що R – частковий порядок на А.
3) Нехай Q – передпорядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy Û хQу та <y,x>ÏQ. Довести, що R – строгий порядок на А.
4) Нехай Q – передпорядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy Û хQу й yQx. Довести, що R – відношення еквівалентності на А.
ХІІІ. Довести, що будь-яка підмножина частково упорядкованої множини частково упорядкована.