І. Визначити, які з відображень є: а) частковими, б) сюр’єктивними,
в) ін’єктивними, г) взаємно однозначними. А={a,b,c,d}, B={b,c,d,f}.
1) F:A®B, F={<a,b>,<c,f>,<d,d>};
2) F:B®A, F={<c,b>,<f,a>,<d,a>,<b,c>};
3) F:B®A, F={<c,c>,<f,d>,<d,b>,<b,a>};
4) F:A2®B, F={<<a,a>,d>,<<a,b>,c>,<<c,c>,f>,<<c,b>,b>,<<c,d>,f>, <<d,d>,d>, <<d,a>,b>,<<b,a>,c>,<<d,c>,b>,<<c,a>,d>};
5) F:A®B2, F={<a,<b,c>>,<b,<c,d>>,<c,<d,d>>,<d,<c,d>>}.
II. Нехай А={a,b,c,d}, B={1,2,3}. Побудувати:
1) 2-арну функцію з А у В, 2) 3-арну функцію з В у А,
3) тернарну операцію на В, 4) бінарний предикат на А,
5) матрицю розмірності 3´4 над А, 6) матрицю порядку 5 над В.
ІІІ. Побудувати:
1) функцію з N у Z, 2) 4-арну функцію з Q у R,
3) тернарну операцію на Z, 4) унарну операцію на Q,
5) бінарний предикат на R, 6) унарний предикат на N.
IV. Визначити, за яких умов:
1) n-арна функція з А у В є n-арною операцією на А,
2) n-арна функція з А у В є n-арним предикатом на А,
3) n-арна операція на А є n-арним предикатом на А,
4) бінарна операція на А є матрицею над А,
5) матриця порядку n над А є n-арною операцією на А,
6) матриця порядку n над А є n-арним предикатом на А.
V. Нехай f,g – функції. За яких умов:
1) f-1 є функцією, 2) f*g є взаємно однозначною функцією.
VI. Нехай існує взаємно однозначна відповідність між множинами А та В й між множинами С та D. Показати, що існує взаємно однозначна відповідність між множинами:
1) А´C та B´D, 2)АC та BD, 3) АÈC та BÈD, якщо АÇC=Æ й BÇD=Æ.
VII. Нехай A, B, C – множини. Побудувати взаємно однозначну відповідність між множинами:
1) A´B та B´A, 2) A´(B´C) та (A´B)´C,
3) (A´B)C та AC´BC, 4) (AB)C та AB´C,
5) ABÈC та AB´AC, якщо BÇC=Æ.
VIII. Довести, що для того, щоб відношення R, задане на множинах А та В, було взаємно однозначною відповідністю між А та В, необхідно й достатньо, щоб R*R-1=iА й R-1*R=iВ.
ІХ. Нехай F – взаємно однозначне відображення множини А на множину В, G – взаємно однозначне відображення множини В на множину С. Довести, що H=F*G є взаємно однозначне відображення А на С.
X. Побудувати приклади відображень та часткових відображень:
1) {a,b,c,d} у {g,h}, 2) {1,2,3} у {x,y,z,v,w}, 3) {1,2,3} у N,
4) N у Q, 5) Q у N, 6) Q у R,
7) R у N, 8) R у Q, 9) N´N у R,
10) A={a,b,c} у P(A).
XІ. На множинах A={1,2,3,4,5} та B={a,b,c} задані відношення. Які з них є: а) функціональними, б) відображеннями А у В?
R1={<1,c>,<1,b>,<3,a>,<3,c>,<2,b>}, R2={<2,b>,<3,c>,<1,b>},
R3={<4,a>,<3,a>,<1,c>,<5,c>,<2,a>}, R4={<1,a>,<3,a>,<4,a>},
R5={<2,a>,<5,b>,<4,c>,<1,a>,<2,b>}, R6={<2,a>,<2,b>,<2,c>},
R7={<3,b>,<4,a>,<5,c>,<4,b>}, R8={<1,c>,<5,a>,<2,b},
R9=R5R8, R10={<2,a>}.
Скільки відношень існує на множинах: а) А та В? б) В та А?
Скільки існує відображень: а) А у В? б) В у А?
XII. Знайти область значень та область визначення відношення R.
1) RÍN2, R={<x,y>| x ділить y};
2) RÍN2, R={<x,y>| y ділить x};
3) RÍR2, R={<x,y>| x-y=5};
4) RÍR2, R={<x,y>| x+y£0};
5) RÍQ2, R={<x,y>| x>0, x´y<3};
6) RÍR2, R={<x,y>| x+y£0};
7) RÍR2, R={<x,y>| 2x³3y};
8) RÍ[0,p]2, R={<x,y>| y³cosx}.
XIIІ. Довести, що:
1) B¹Æ Þ D(А´В)=А, 2) А¹Æ Þ R(А´В)=В,
3) В¹Æ Þ ВА¹Æ, 4) ВАÍВ(А´В).
XIV. Довести твердження 2-10 теoреми 11.
XV. Нехай AÍD(F), BÍR(F) для деякого відображення F. Довести, що:
1) AÍF-1(F(A)), 2) F(F-1(B))=B, 3) F(A)ÇB=F(AÇF-1(B)),
4) F(A)ÇB=Æ Û AÇF-1(B)=Æ, 5) F(A)ÍB Û AÍF-1(B).
XVI. Нехай f: A®B, g: B®C – відображення, xÎA. Визначити (f*g)(x).
XVII. Довести, що для будь-якого бінарного відношення R:
1) D(R)=Æ Û R=Æ Û R(R)=Æ, 2) D(R-1)=R(R), 3) R(R-1)=D(R).
XVIIІ. Нехай F, G – (часткові) відображення A у B. Довести, що F=G Û D(F)=D(G), R(F)=R(G), для кожного елемента x з області визначення F та G F(x)=G(x).
ХІХ. Нехай задано відображення f: A*A®A таке, що для будь-яких елементів x,y,z множини A f(x,y)=f(y,x), f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z), f(x,x)=x. Визначимо xRy Û f(x,y)=x. Довести, що R – частковий порядок на А.
ХХ. Нехай R – бінарне відношення на n-елементній множині А. Сформулювати правила перетворення матриці відношення R на матрицю відношення: 1) Rr; 2) Rs.
ХХІ. Нехай R – перетворення множини А. Чи будуть перетвореннями множини А відношення Rr, Rs, Rt?
XХІI. Для заданого відображення множини А={a,b,c,d} у множину В={1,2,3,4,5} побудувати канонічний розклад.
1) F={<a,1>,<b,2>,<c,2>,<d,1>}, 2) F={<a,2>,<b,2>,<c,2>,<d,2>},
3) F={<a,3>,<b,5>,<c,4>,<d,1>}, 4) F={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<d,4>},
5) F={<a,1>,<b,1>,<c,2>,<d,3>}, 6) F={<a,3>,<b,5>,<c,5>,<d,5>}.