Визначимо відношення ~ на множині усіх множин U: A~В Û А та В рівнопотужні. Дане відношення рефлексивне (А~А), симетричне (якщо А~В, то існує деяке взаємно однозначне відображення F А на В, але тоді F-1 є взаємно однозначне відображення В на А, отже, В~А), транзитивне (якщо А~В та В~С, то існують деякі взаємно однозначні відображення F:A®B та G:B®C, але тоді H=F*G – взаємно однозначне відображення А на С, отже, А~С). Таким чином, ~ є відношенням еквівалентності. Класи розбиття, що визначається відношенням ~, називаються кардинальними числами. Потужністю множини А (позначається |А|) назвемо кардинальне число [A]. Кардинальне числo виду [Nm] позначається m, кардинальне число [Æ] позначається 0. Множина, еквівалентна множині Nm для деякого m (mÎN+), називається скінченною.
Множина, еквівалентна множині N+, називається зліченною. Кардинальне число [N+] позначається À0 (алеф-нуль).
Прикладом зліченної множини є множина Р усіх додатних парних чисел. Дійсно функція f(n)=2n задає взаємно однозначне відображення N+ на Р. Множина А={1,2,3} не є зліченною, оскільки будь-яке відображення N+ на А не є взаємно однозначним.
Сформулюємо деякі твердження про потужності множин.
1. Нехай А – скінченна множина й АÌВ. Тоді множини А та В не рівнопотужні.
2. Нехай А – нескінченна підмножина зліченної множини. Тоді А зліченна.
3. Об’єднання скінченної сукупності зліченних множин є зліченна множина.
4. Об’єднання зліченної сукупності зліченних множин є зліченна множина.
5. (Теорема Кантора). Множина усіх дійсних чисел інтервалу (0,1) незліченна.
6. Булеан зліченної множини є незліченна множина.
Множина, еквівалентна множині усіх дійсних чисел інтервалу (0,1), називається континуальною, або множиною потужності континууму.