І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y?
ІІ. Чи рівнопотужні множини: 1) N+ та N-, 2) N- та N+, 3) N та Z, 4) N+ та Q, 5) N та R?
III. Нехай А – незліченна множина й В – деяка зліченна підмножина множини А. Довести, що множина ВА незліченна.
ІV. Чи є зліченною: 1) множина усіх непарних цілих чисел; 2) множина усіх ірраціональних чисел?
V. Методом математичної індукції довести, що:
1) n7-n ділиться на 7 при будь-якому цілому невід’ємному n,
2) 5×23n-2 + 33n-1 ділиться на 19 при будь-якому цілому додатному n,
3) n×(4n2-1) ділиться на 3 при будь-якому цілому n³0,
4) n2(n+1)2 ділиться на 4 при будь-якому цілому невід’ємному n,
5) n×(2n2-3n+1) ділиться на 6 при будь-якому цілому невід’ємному n,
6) 4n + 15n-1 ділиться на 9 при будь-якому цілому невід’ємному n.
VІ. Методом математичної індукції довести рівності:
1) , 2) 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6, n>0,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) ,
8) (1+…+n)2=13+…+n3,
9) (a+b)n=Cn0anb0+…+Cnjan-j bj+…+Cnna0bn , n³1, 1£j£n.
VІІ. Методом математичної індукції довести, що
1) множина з n елементів має 2n підмножин,
2) непорожню множину з n елементів можна розбити на дві непорожні множини 2n-1-1 способами.