рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Включення та рівність множин

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Включення та рівність множин

Включення та рівність множин - раздел Математика, Основи Дискретної математики Нехай А Та В – Множини. Будемо Говорити, Що А Включається...

Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АÍВ), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо хÎА, то хÎВ. Використовується також й позначення ВÊА, що означає «В включає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, ZÍQ, оскільки кожне ціле число є раціональним; RÊZ, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А={2,4,1} є підмножиною множини В={-1, 0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2ÎВ, 4ÎВ, 1ÎВ. Якщо для множин А та В твердження АÍВ не є істинним, будемо писати АËВ. Наприклад, QËZ, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X={а,b,c}, Y={b,c,d}, то ХËY, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, YËХ). Якщо увести позначення: ("х) – «для кожного х» (або «для довільного х»), Þ – «випливає» (або «слідує»), Û – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: АÍВ Û ("х) хÎА Þ хÎВ.

Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується ХÍХ. Доведемо, що для будь-яких множин X,Y,Z XÍY, YÍZ Þ XÍZ. Для цього достатньо показати, що ("х) хÎХ Þ хÎZ. При доведенні будемо використовувати те, що XÍY та YÍZ. Отже, нехай хÎХ. Оскільки XÍY, то хÎY, але YÍZ, а тому хÎZ. Таким чином, ми показали, що для довільного х хÎХ Þ хÎZ. Коротко побудоване міркування можна записати так: хÎХ Þ хÎY Þ хÎZ.

Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х=Y), якщо XÍY та YÍХ, тобто Х=Y Û ХÍY та YÍХ. Наприклад, множини А={3,7,2} та В={7,2,3} рівні, тому що АÍВ та ВÍА, оскільки для елементів множини А маємо: 3ÎВ, 7ÎВ, 2ÎВ, а для елементів множини В маємо: 7ÎА, 2ÎА, 3ÎА. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто ХËY або YËХ), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х≠Y. Наприклад, якщо Х={a,b,c}, Y={d,f,a}, то Х≠Y, оскільки ХËY (а також YËХ); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки NË{1,2,3} (хоча {1,2,3}ÍN).

Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається ХÌY), якщо ХÍY, але Х≠Y, тобто ХÌY Û ХÍY та Х≠Y. Наприклад, якщо А={a,b,c}, В={a,b,c,d}, то АÌВ, оскільки для елементів множини А маємо: аÎB, bÎB, cÎB, отже, АÍВ, але ВËА, тому В≠А. Також ZÌQ, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому QËZ), тобто Z≠Q, хоча ZÍQ.

Через Æ позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто ("х) хÏÆ. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що ÆÍА для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки Æ не має елементів, то умова хÎÆ Þ хÎА не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {Æ} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, Æ≠{Æ}, але ÆÎ{Æ}. Для множини A={a,b,c} маємо ÆÏА, тому що серед елементів множини А немає елемента Æ.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основи Дискретної математики

Київський національний університет технологій та дизайну... М К МОРОХОВЕЦЬ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Включення та рівність множин

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

КИЇВ КНУТД 2005
УДК 51.681.3517 Конспект лекцій з курсу “Основи дискретної математики” для студентів спеціальності “Комп’ютерні науки” 6.0402 / Автор М.К.Мороховец

Лекція 1. Поняття множини. Операції над множинами
Теорія множин як математична дисципліна створена німецьким мате-матиком Г.Кантором. Згідно з його визначенням, множиною є довільне зі-брання певних об’єктів н

Способи подання множин
Множина може бути задана явно або неявно. Якщо об’єктів, що склада-ють множину, небагато, множина задається явно шляхом перерахування цих об’єктів (а точніше, їх імен). На письмі мн

Операції над множинами
Об’єднанням множин А та В (позначається АÈВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто А

Властивості операцій над множинами
Теорема 1. Для будь-яких підмножин А, В, С універсальної множини U наведені нижче рівності є тотожностями (вираз А' слід розуміти як UА

Булеан множини
Кожна непорожня множина Х має принаймні дві різні підмножини: Æ та Х. Крім того, кожен елемент множини Х визначає деяку підмножину множини Х: якщо

Задачі та вправи
І. Описати словами множини: 1) {x| x=2y+1, yÎN}, 2) {x| x=2y-1, yÎN},

Декартів добуток множин
Упорядкованою парою об’єктів х та y (позначається <x,y>) будемо називати сукупність двох об’єктів (не обов’язково різних), які розташовані у

Поняття відношення
Термін «відношення» застосовується у математиці для позначення певного зв’язку між об’єктами. Відношенням R, заданим на множинах А та В, називається довільна підмножина декар

Операції над відношеннями
Нехай R1, R2 – відношення, задані на множинах A1,…,An. Об’єднанням відношень R1 та R2

Види бінарних відношень
Бінарне відношення R на множині А називається симетричним, якщо <x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR. Пару

Відношення еквівалентності
Рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення на множині А називається відношенням еквівалентності на А. Прикладом відношення еквівалентності на мн

Фактор-множина
Нехай R – відношення еквівалентності на А. Тоді, як відомо, існує розбиття множини А, яке визначається відношенням R. Позначимо це розбиття через А

Замикання відношень
Рефлексивним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rr), називається відношення Rr=i

Задачі та вправи
І. Чи існують на множині {1,2,3,4} такі два різні відношення R та S, що: 1) Rr=Sr; 2) Rs=Ss; 3)

Відношення часткового порядку
Бінарне відношення R, задане на множині А, називається відношенням часткового порядку (частковим порядком на А), якщо R рефлексивне, антиси

Відношення лінійного та повного порядку
Відношенням лінійного порядку (лінійним порядком) на множині А називається такий частковий порядок на множині А, відносно якого порівнюються будь-які еле

Задачі та вправи
І. Які з відношень завдань XXVIІ-XXІX до попереднього розділу є відношен-нями: 1) часткового порядку, 2) строгого порядку, 3) передпорядку, 4) лінійного порядку, 5) повного порядку.

Поняття відображення
Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента xÎА існує не більше одного елемента

Види відображень
Відображення F множини А у множину В називається відображенням А на В (або сюр’єктивним відображенням, або сюр’єкцією), як

Задачі та вправи
І. Визначити, які з відображень є: а) частковими, б) сюр’єктивними, в) ін’єктивними, г) взаємно однозначними. А={a,b,c,d}, B={b

Рівнопотужні множини
Множини А та В називаються рівнопотужними (еквівалентними), якщо існує взаємно однозначне відображення А на В. Наприклад, множини

Потужність множини
Визначимо відношення ~ на множині усіх множин U: A~В Û А та В рівнопотужні. Дане відношення рефлексивне (А~А), симетричне (якщ

Трансфінітна індукція
Твердження, що стосуються елементів деякої повністю упорядкованої множини, можна доводити, використовуючи метод трансфінітної індукції, який є узагальненням методу математичної інду

Задачі та вправи
І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y? ІІ. Чи рівнопотужні

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. – 400 с. 2. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программировани

СИМВОЛИ ТА ПОЗНАЧЕННЯ
N – множина усіх невід’ємних цілих чисел N+ – множина усіх додатних цілих чисел Z – м