рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Операції над множинами

Операції над множинами - раздел Математика, Основи Дискретної математики   Об’Єднанням Множин А Та В (Позначається А...

 

Об’єднанням множин А та В (позначається АÈВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто

АÈВ = {х| хÎА або хÎВ}.

Тут сполучник «або» використовується у тому розумінні, що елемент множини АÈВ може належати обом множинам (А та В).

Наведемо приклади об’єднання множин. Нехай А={1,4,5,8,9}, В={3,4,6}. Тоді АÈВ={1,3,4,5,6,8,9}. Елемент 4 з об’єднання АÈВ належить обом множинам А та В, кожен з інших елементів з АÈВ належить лише одній з цих множин. Розглянемо тепер АÈА. За визначенням об’єднання множин маємо: АÈА=А. Дійсно, жоден елемент, що не належить множині А, не може належати й множині АÈА. Нехай А={х| x – натуральне парне число}, В={x| xÎZ, x<-5}. Тоді АÈВ – це множина, елементами якої є усі від’ємні цілі числа, менші ніж -5, й усі натуральні парні числа.

Перетином множин А та В (позначається АÇВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами обох множини А й В, тобто

АÇВ = {х| хÎА та хÎВ}.

Нехай, наприклад, А={2,5,6,8,0}, В={3,4,5,6}. Тоді АÇВ={5,6}, оскільки елементи 5 та 6 й тільки вони є спільними для множин А та В. Розглянемо множини С={1,2,3} та D={4,5,6}. Очевидно, не існує жодного елементу, який би належав як множині С, так й множині D. Отже, множина СÇD не містить жодного елементу, тобто є порожньою: СÇD=Æ. Розглянемо перетин множин X={x| xÎN, х<100} та Y={х| x – непарне додатне число}. ХÇY – це множина непарних додатних чисел, що не перевищують 100.

Будемо говорити, що множини А та В не перетинаються, якщо АÇВ=Æ. Наприклад, не перетинаються множина від’ємних цілих чисел та множина натуральних парних чисел. Якщо АÇВ≠Æ, то множини А та В є такими, що перетинаються. Наприклад, множини Z та N є такими, що перетинаються, оскільки вони мають спільні елементи.

Різницею множин А та В (позначається АВ) називається множина, що складається з тих елементів множини А, які не належать множині В, тобто

АВ={x| xÎA, xÏB}.

Наприклад, якщо А={2,5,6,8}, В={3,5,8,9,0}, то АВ={2,6}. Нехай Х={1,3,4,6}, Y={4,5,6,1,2,3}; тоді ХY=Æ, оскільки у множині Х немає таких елементів, які б не належали Y. Нехай Р – множина усіх непарних натуральних чисел, тоді NР – це множина усіх невід’ємних парних цілих чисел.

Абсолютним доповненням (доповненням) множини А (позначається А') називається множина тих об’єктів, які не належать множині А, тобто

А'={х| хÏА}.

Множина ВА називається ще відносним доповненням множини А до множини В.

Покажемо, що ВА=ВÇА'. Для цього треба довести, що ВАÍВÇА' та ВÇАВА. Покажемо, що ВАÍВÇА'. Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: хÎВА Þ хÎВ та хÏА Þ хÎВ та хÎА' Þ хÎВÇА', отже, доведено, що хÎВА Þ хÎВÇА', а це означає, що ВАÍВÇА'. Тепер покажемо, що ВÇАВА: хÎВÇА' Þ хÎВ, хÎА' Þ хÎВ, хÏА Þ хÎВА, отже, хÎВÇА' Þ хÎВА.

Симетричною різницею множин А та В (позначається АDВ або А+В) називається множина, елементи якої належать або тільки множині А, або тільки множині В, але не обом множинам А та В, тобто

АDВ=(АВ)È(ВА).

Наприклад, нехай А={1,2,3,4}, В={3,4,6,7}, тоді АDВ={1,2,6,7}. Якщо А={х| хÎN, 1<х<101}, В={x| xÎN, х<100}, то АDВ={0,1,100}.

Розглянемо ще кілька прикладів доведення тверджень про множини.

І. Доведемо, що якщо АÍВ, то АÇСÍВÇС (або, більш коротко, АÍВ Þ АÇСÍВÇС) для будь-яких множин А, В, С.

Нам треба показати, що АÇСÍВÇС за умови АÍВ. Іншими словами, при доведенні включення АÇСÍВÇС ми можемо використовувати не лише загальні відомості про множини (такі, наприклад, як означення підмножини, операцій над множинами), а й те, що АÍВ. Отже, нехай хÎАÇС. Тоді, виходячи з означення операції перетину множин, маємо: хÎА та хÎС. Оскільки АÍВ, то з хÎА випливає хÎВ. Тепер з того, що хÎВ та хÎС, випливає хÎВÇС.

ІІ. Доведемо, що для будь-яких множин А та В

AÍBÈC Û AÇB¢ÍC.

Для доведення треба показати, що АÍВÈС Þ АÇВС та АÇВС Þ АÍВÈС. Покажемо спочатку, що АÍВÈС Þ АÇВС. Для цього доведемо включення АÇВС, користуючись тим, що АÍВÈС. Отже, нехай хÎАÇВ'. Звідси маємо: хÎА та хÎВ' (тобто хÏВ). Оскільки АÍВÈС, то хÎВÈС, отже, хÎВ або хÎС. Але раніше ми одержали, що хÏВ. Тоді залишається тільки можливість хÎС. Таким чином, ми показали, що хÎАÇВ' Þ хÎС, а це означає, що АÇВС. Далі доведемо, що АÇВС Þ АÍВÈС. Для доведення треба показати, що АÍВÈС за умови АÇВС. Нехай хÎА. Якщо В – довільна множина, то хÎВ або хÏВ. Розглянемо кожен з цих випадків. Нехай хÎВ. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що х є елементом множини, яка є об’єднанням множини В з будь-якою множиною. Отже, хÎВÈС. Розглянемо тепер другий випадок, тобто хÏВ. Тоді хÎВ', а оскільки хÎА, то хÎАÇВ'. Але відомо, що АÇВС, значить хÎС, звідки випливає, що хÎВÈС. Коротко доведення можна записати таким чином.

(Þ) хÎ AÇB¢ Þ хÎА, хÎВ' Þ хÎА, хÏВ Þ хÎВÈС, хÏВ Þ хÎВ або хÎС, хÏВ Þ хÎС.

(Ü) хÎА Þ хÎА, хÎВ або хÏВ Þ 1) хÎА, хÎВ або 2) хÎА, хÏВ.

1) хÎА, хÎВ Þ хÎВ Þ хÎВÈС.

2) хÎА, хÏВ Þ хÎА, хÎВ' Þ хÎАÇВ' Þ хÎС Þ хÎ ВÈС.

Доведення завершено.

Якщо усі множини, що розглядаються при розв’язанні якоїсь задачі або при якихось міркуваннях, є підмножинами деякої множини U, то таку множину U називають універсальною множиною (універсумом). Наприклад, для елементарної арифметики універсальною множиною є Z. Для графічного зображення підмножин деякої універсальної множини U використовують так звані діаграми Венна, або кола Ейлера. Діаграма Венна є схематичним зображенням множин у вигляді точкових множин: універсальна множина зображується множиною точок деякого прямокутника, а її підмножина А – у вигляді кола або якоїсь іншої простої області усередині цього прямокутника. Доповнення множини А (до U) зображується тією частиною прямокутника, що лежить за межами кола, що зображує А. Множини, що не перетинаються, зображуються областями, що не перекриваються. Якщо АÍВ, то на діаграмі Венна та область, що зображує множину А, цілком лежить усередині області, що зображує множину В. Діаграми Венна є корисним допоміжним засобом при вивченні операцій над множинами.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основи Дискретної математики

Київський національний університет технологій та дизайну... М К МОРОХОВЕЦЬ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Операції над множинами

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

КИЇВ КНУТД 2005
  УДК 51.681.3517   Конспект лекцій з курсу “Основи дискретної математики” для студентів спеціальності “Комп’ютерні науки” 6.0402 / Автор М.К.Мороховец

Лекція 1. Поняття множини. Операції над множинами
    Теорія множин як математична дисципліна створена німецьким мате-матиком Г.Кантором. Згідно з його визначенням, множиною є довільне зі-брання певних об’єктів н

Способи подання множин
  Множина може бути задана явно або неявно. Якщо об’єктів, що склада-ють множину, небагато, множина задається явно шляхом перерахування цих об’єктів (а точніше, їх імен). На письмі мн

Включення та рівність множин
Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АÍВ), якщо кожен елемент множини

Властивості операцій над множинами
Теорема 1. Для будь-яких підмножин А, В, С універсальної множини U наведені нижче рівності є тотожностями (вираз А' слід розуміти як UА

Булеан множини
  Кожна непорожня множина Х має принаймні дві різні підмножини: Æ та Х. Крім того, кожен елемент множини Х визначає деяку підмножину множини Х: якщо

Задачі та вправи
  І. Описати словами множини: 1) {x| x=2y+1, yÎN}, 2) {x| x=2y-1, yÎN},

Декартів добуток множин
  Упорядкованою парою об’єктів х та y (позначається <x,y>) будемо називати сукупність двох об’єктів (не обов’язково різних), які розташовані у

Поняття відношення
  Термін «відношення» застосовується у математиці для позначення певного зв’язку між об’єктами. Відношенням R, заданим на множинах А та В, називається довільна підмножина декар

Операції над відношеннями
  Нехай R1, R2 – відношення, задані на множинах A1,…,An. Об’єднанням відношень R1 та R2

Види бінарних відношень
  Бінарне відношення R на множині А називається симетричним, якщо <x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR. Пару

Відношення еквівалентності
  Рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення на множині А називається відношенням еквівалентності на А. Прикладом відношення еквівалентності на мн

Фактор-множина
  Нехай R – відношення еквівалентності на А. Тоді, як відомо, існує розбиття множини А, яке визначається відношенням R. Позначимо це розбиття через А

Замикання відношень
  Рефлексивним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rr), називається відношення Rr=i

Задачі та вправи
  І. Чи існують на множині {1,2,3,4} такі два різні відношення R та S, що: 1) Rr=Sr; 2) Rs=Ss; 3)

Відношення часткового порядку
  Бінарне відношення R, задане на множині А, називається відношенням часткового порядку (частковим порядком на А), якщо R рефлексивне, антиси

Відношення лінійного та повного порядку
  Відношенням лінійного порядку (лінійним порядком) на множині А називається такий частковий порядок на множині А, відносно якого порівнюються будь-які еле

Задачі та вправи
  І. Які з відношень завдань XXVIІ-XXІX до попереднього розділу є відношен-нями: 1) часткового порядку, 2) строгого порядку, 3) передпорядку, 4) лінійного порядку, 5) повного порядку.

Поняття відображення
  Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента xÎА існує не більше одного елемента

Види відображень
  Відображення F множини А у множину В називається відображенням А на В (або сюр’єктивним відображенням, або сюр’єкцією), як

Задачі та вправи
  І. Визначити, які з відображень є: а) частковими, б) сюр’єктивними, в) ін’єктивними, г) взаємно однозначними. А={a,b,c,d}, B={b

Рівнопотужні множини
  Множини А та В називаються рівнопотужними (еквівалентними), якщо існує взаємно однозначне відображення А на В. Наприклад, множини

Потужність множини
  Визначимо відношення ~ на множині усіх множин U: A~В Û А та В рівнопотужні. Дане відношення рефлексивне (А~А), симетричне (якщ

Трансфінітна індукція
  Твердження, що стосуються елементів деякої повністю упорядкованої множини, можна доводити, використовуючи метод трансфінітної індукції, який є узагальненням методу математичної інду

Задачі та вправи
  І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y? ІІ. Чи рівнопотужні

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
    1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. – 400 с. 2. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программировани

СИМВОЛИ ТА ПОЗНАЧЕННЯ
    N – множина усіх невід’ємних цілих чисел N+ – множина усіх додатних цілих чисел Z – м

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги