Об’єднанням множин А та В (позначається АÈВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто
АÈВ = {х| хÎА або хÎВ}.
Тут сполучник «або» використовується у тому розумінні, що елемент множини АÈВ може належати обом множинам (А та В).
Наведемо приклади об’єднання множин. Нехай А={1,4,5,8,9}, В={3,4,6}. Тоді АÈВ={1,3,4,5,6,8,9}. Елемент 4 з об’єднання АÈВ належить обом множинам А та В, кожен з інших елементів з АÈВ належить лише одній з цих множин. Розглянемо тепер АÈА. За визначенням об’єднання множин маємо: АÈА=А. Дійсно, жоден елемент, що не належить множині А, не може належати й множині АÈА. Нехай А={х| x – натуральне парне число}, В={x| xÎZ, x<-5}. Тоді АÈВ – це множина, елементами якої є усі від’ємні цілі числа, менші ніж -5, й усі натуральні парні числа.
Перетином множин А та В (позначається АÇВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами обох множини А й В, тобто
АÇВ = {х| хÎА та хÎВ}.
Нехай, наприклад, А={2,5,6,8,0}, В={3,4,5,6}. Тоді АÇВ={5,6}, оскільки елементи 5 та 6 й тільки вони є спільними для множин А та В. Розглянемо множини С={1,2,3} та D={4,5,6}. Очевидно, не існує жодного елементу, який би належав як множині С, так й множині D. Отже, множина СÇD не містить жодного елементу, тобто є порожньою: СÇD=Æ. Розглянемо перетин множин X={x| xÎN, х<100} та Y={х| x – непарне додатне число}. ХÇY – це множина непарних додатних чисел, що не перевищують 100.
Будемо говорити, що множини А та В не перетинаються, якщо АÇВ=Æ. Наприклад, не перетинаються множина від’ємних цілих чисел та множина натуральних парних чисел. Якщо АÇВ≠Æ, то множини А та В є такими, що перетинаються. Наприклад, множини Z та N є такими, що перетинаються, оскільки вони мають спільні елементи.
Різницею множин А та В (позначається АВ) називається множина, що складається з тих елементів множини А, які не належать множині В, тобто
АВ={x| xÎA, xÏB}.
Наприклад, якщо А={2,5,6,8}, В={3,5,8,9,0}, то АВ={2,6}. Нехай Х={1,3,4,6}, Y={4,5,6,1,2,3}; тоді ХY=Æ, оскільки у множині Х немає таких елементів, які б не належали Y. Нехай Р – множина усіх непарних натуральних чисел, тоді NР – це множина усіх невід’ємних парних цілих чисел.
Абсолютним доповненням (доповненням) множини А (позначається А') називається множина тих об’єктів, які не належать множині А, тобто
А'={х| хÏА}.
Множина ВА називається ще відносним доповненням множини А до множини В.
Покажемо, що ВА=ВÇА'. Для цього треба довести, що ВАÍВÇА' та ВÇА'ÍВА. Покажемо, що ВАÍВÇА'. Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: хÎВА Þ хÎВ та хÏА Þ хÎВ та хÎА' Þ хÎВÇА', отже, доведено, що хÎВА Þ хÎВÇА', а це означає, що ВАÍВÇА'. Тепер покажемо, що ВÇА'ÍВА: хÎВÇА' Þ хÎВ, хÎА' Þ хÎВ, хÏА Þ хÎВА, отже, хÎВÇА' Þ хÎВА.
Симетричною різницею множин А та В (позначається АDВ або А+В) називається множина, елементи якої належать або тільки множині А, або тільки множині В, але не обом множинам А та В, тобто
АDВ=(АВ)È(ВА).
Наприклад, нехай А={1,2,3,4}, В={3,4,6,7}, тоді АDВ={1,2,6,7}. Якщо А={х| хÎN, 1<х<101}, В={x| xÎN, х<100}, то АDВ={0,1,100}.
Розглянемо ще кілька прикладів доведення тверджень про множини.
І. Доведемо, що якщо АÍВ, то АÇСÍВÇС (або, більш коротко, АÍВ Þ АÇСÍВÇС) для будь-яких множин А, В, С.
Нам треба показати, що АÇСÍВÇС за умови АÍВ. Іншими словами, при доведенні включення АÇСÍВÇС ми можемо використовувати не лише загальні відомості про множини (такі, наприклад, як означення підмножини, операцій над множинами), а й те, що АÍВ. Отже, нехай хÎАÇС. Тоді, виходячи з означення операції перетину множин, маємо: хÎА та хÎС. Оскільки АÍВ, то з хÎА випливає хÎВ. Тепер з того, що хÎВ та хÎС, випливає хÎВÇС.
ІІ. Доведемо, що для будь-яких множин А та В
AÍBÈC Û AÇB¢ÍC.
Для доведення треба показати, що АÍВÈС Þ АÇВ'ÍС та АÇВ'ÍС Þ АÍВÈС. Покажемо спочатку, що АÍВÈС Þ АÇВ'ÍС. Для цього доведемо включення АÇВ'ÍС, користуючись тим, що АÍВÈС. Отже, нехай хÎАÇВ'. Звідси маємо: хÎА та хÎВ' (тобто хÏВ). Оскільки АÍВÈС, то хÎВÈС, отже, хÎВ або хÎС. Але раніше ми одержали, що хÏВ. Тоді залишається тільки можливість хÎС. Таким чином, ми показали, що хÎАÇВ' Þ хÎС, а це означає, що АÇВ'ÍС. Далі доведемо, що АÇВ'ÍС Þ АÍВÈС. Для доведення треба показати, що АÍВÈС за умови АÇВ'ÍС. Нехай хÎА. Якщо В – довільна множина, то хÎВ або хÏВ. Розглянемо кожен з цих випадків. Нехай хÎВ. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що х є елементом множини, яка є об’єднанням множини В з будь-якою множиною. Отже, хÎВÈС. Розглянемо тепер другий випадок, тобто хÏВ. Тоді хÎВ', а оскільки хÎА, то хÎАÇВ'. Але відомо, що АÇВ'ÍС, значить хÎС, звідки випливає, що хÎВÈС. Коротко доведення можна записати таким чином.
(Þ) хÎ AÇB¢ Þ хÎА, хÎВ' Þ хÎА, хÏВ Þ хÎВÈС, хÏВ Þ хÎВ або хÎС, хÏВ Þ хÎС.
(Ü) хÎА Þ хÎА, хÎВ або хÏВ Þ 1) хÎА, хÎВ або 2) хÎА, хÏВ.
1) хÎА, хÎВ Þ хÎВ Þ хÎВÈС.
2) хÎА, хÏВ Þ хÎА, хÎВ' Þ хÎАÇВ' Þ хÎС Þ хÎ ВÈС.
Доведення завершено.
Якщо усі множини, що розглядаються при розв’язанні якоїсь задачі або при якихось міркуваннях, є підмножинами деякої множини U, то таку множину U називають універсальною множиною (універсумом). Наприклад, для елементарної арифметики універсальною множиною є Z. Для графічного зображення підмножин деякої універсальної множини U використовують так звані діаграми Венна, або кола Ейлера. Діаграма Венна є схематичним зображенням множин у вигляді точкових множин: універсальна множина зображується множиною точок деякого прямокутника, а її підмножина А – у вигляді кола або якоїсь іншої простої області усередині цього прямокутника. Доповнення множини А (до U) зображується тією частиною прямокутника, що лежить за межами кола, що зображує А. Множини, що не перетинаються, зображуються областями, що не перекриваються. Якщо АÍВ, то на діаграмі Венна та область, що зображує множину А, цілком лежить усередині області, що зображує множину В. Діаграми Венна є корисним допоміжним засобом при вивченні операцій над множинами.