Булеан множини - раздел Математика, Основи Дискретної математики
Кожна Непорожня Множина Х Має Принаймні Дві Різні Підм...
Кожна непорожня множина Х має принаймні дві різні підмножини: Æ та Х. Крім того, кожен елемент множини Х визначає деяку підмножину множини Х: якщо аÎХ, то {а}ÍX. Множина усіх підмножин множини Х називається булеаном, або множиною-степенем множини Х й позначається P(Х) (або В(Х)), тобто P(Х)={Y| YÍX}. Якщо, наприклад, А={а,b,с}, то P(А)={А,{а,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},Æ}.
Теорема 4.Нехай множина Х складається з n елементів. Тоді P(Х) містить 2n елементів.
Доведення. Нехай Х={х1,…,хn}. Розглянемо такий спосіб подання підмножини Y множини Х. Нехай lY=l1…ln – послідовність n нулів та одиниць така, що li=1, якщо хiÎY, й li=0, якщо xiÏY, iÎ{1,…,n}. Наприклад, якщо n=5, то підмножина Y={x2,x4,x5} множини {х1,х2,х3,х4,х5} подається у вигляді послідовності lY=01011. З іншого боку, кожна послідовність l1…ln з n нулів та одиниць визначає деяку підмножину Y n-елементної множини Х таким чином: якщо li=1, то хiÎY, а якщо li=0, то xiÏY. Наприклад, якщо lY=00110, то Y={x3,x4}. Отже, n-елементна множина Х має стільки ж підмножин, скільки існує послідовностей з n нулів та одиниць. Оскільки таких послідовностей 2n, то й кількість елементів множини P(Х) теж 2n.
Покриття та розбиття множини
Покриттям множини Х називається така сукупність Х1,…,Хk,… підмно-жин множини Х, що Х=Х1È…ÈХkÈ… .
Наприклад, множини Х1={2,4}, Х2={2,3,5}, Х3=X4={1,2,4} утворюють покриття множини Х={1,2,3,4,5}, тому що Х1ÍХ, Х2ÍХ, Х3ÍХ, Х4ÍХ, а також Х=Х1ÈХ2ÈХ3ÈХ4. Множини Y1={1,2}, Y2={2,4}, Y3={2,3}, Y4={1,2,3} не утворюють покриття множини Х (хоча усі вони є підмножинами Х), тому що Х≠Y1ÈY2ÈY3ÈY4. Множини Z1={1,2,5,6}, Z2={2,3,5}, Z3={1,4} теж не утворюють покриття множини Х, оскільки не кожна з них є підмножиною множини Х (Z1ËХ).
Розбиттям множини Х називається множина таких непорожніх підмножин множини Х, що попарно не перетинаються й утворюють її покриття.
Наприклад, множина {{1}, {2,3}, {4,6}, {5}} є розбиттям множини Х={1,2,3,4,5,6}. Множина {{1,4}, {2,3}, {4,6}, {1,5}} не є розбиттям множини Х, оскільки, зокрема, множини {1,4} та {4,6} перетинаються. Множина {{1,4}, {2}, {6}, {3}} також не є розбиттям множини Х, тому що сукупність {1,4}, {2}, {6}, {3} не є покриттям множини Х.
Київський національний університет технологій та дизайну... М К МОРОХОВЕЦЬ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Булеан множини
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
КИЇВ КНУТД 2005
УДК 51.681.3517
Конспект лекцій з курсу “Основи дискретної математики” для студентів спеціальності “Комп’ютерні науки” 6.0402
/ Автор М.К.Мороховец
Лекція 1. Поняття множини. Операції над множинами
Теорія множин як математична дисципліна створена німецьким мате-матиком Г.Кантором. Згідно з його визначенням, множиною є довільне зі-брання певних об’єктів н
Способи подання множин
Множина може бути задана явно або неявно. Якщо об’єктів, що склада-ють множину, небагато, множина задається явно шляхом перерахування цих об’єктів (а точніше, їх імен). На письмі мн
Включення та рівність множин
Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АÍВ), якщо кожен елемент множини
Операції над множинами
Об’єднанням множин А та В (позначається АÈВ) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто
А
Властивості операцій над множинами
Теорема 1. Для будь-яких підмножин А, В, С універсальної множини U наведені нижче рівності є тотожностями (вираз А' слід розуміти як UА
Задачі та вправи
І. Описати словами множини:
1) {x| x=2y+1, yÎN}, 2) {x| x=2y-1, yÎN},
Декартів добуток множин
Упорядкованою парою об’єктів х та y (позначається <x,y>) будемо називати сукупність двох об’єктів (не обов’язково різних), які розташовані у
Поняття відношення
Термін «відношення» застосовується у математиці для позначення певного зв’язку між об’єктами. Відношенням R, заданим на множинах А та В, називається довільна підмножина декар
Операції над відношеннями
Нехай R1, R2 – відношення, задані на множинах A1,…,An. Об’єднанням відношень R1 та R2
Види бінарних відношень
Бінарне відношення R на множині А називається симетричним, якщо <x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR. Пару
Відношення еквівалентності
Рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення на множині А називається відношенням еквівалентності на А.
Прикладом відношення еквівалентності на мн
Фактор-множина
Нехай R – відношення еквівалентності на А. Тоді, як відомо, існує розбиття множини А, яке визначається відношенням R. Позначимо це розбиття через А
Замикання відношень
Рефлексивним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rr), називається відношення Rr=i
Задачі та вправи
І. Чи існують на множині {1,2,3,4} такі два різні відношення R та S, що: 1) Rr=Sr; 2) Rs=Ss; 3)
Відношення часткового порядку
Бінарне відношення R, задане на множині А, називається відношенням часткового порядку (частковим порядком на А), якщо R рефлексивне, антиси
Відношення лінійного та повного порядку
Відношенням лінійного порядку (лінійним порядком) на множині А називається такий частковий порядок на множині А, відносно якого порівнюються будь-які еле
Задачі та вправи
І. Які з відношень завдань XXVIІ-XXІX до попереднього розділу є відношен-нями: 1) часткового порядку, 2) строгого порядку, 3) передпорядку, 4) лінійного порядку, 5) повного порядку.
Поняття відображення
Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента xÎА існує не більше одного елемента
Види відображень
Відображення F множини А у множину В називається відображенням А на В (або сюр’єктивним відображенням, або сюр’єкцією), як
Задачі та вправи
І. Визначити, які з відображень є: а) частковими, б) сюр’єктивними,
в) ін’єктивними, г) взаємно однозначними. А={a,b,c,d}, B={b
Рівнопотужні множини
Множини А та В називаються рівнопотужними (еквівалентними), якщо існує взаємно однозначне відображення А на В.
Наприклад, множини
Потужність множини
Визначимо відношення ~ на множині усіх множин U: A~В Û А та В рівнопотужні. Дане відношення рефлексивне (А~А), симетричне (якщ
Трансфінітна індукція
Твердження, що стосуються елементів деякої повністю упорядкованої множини, можна доводити, використовуючи метод трансфінітної індукції, який є узагальненням методу математичної інду
Задачі та вправи
І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y?
ІІ. Чи рівнопотужні
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. – 400 с.
2. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программировани
СИМВОЛИ ТА ПОЗНАЧЕННЯ
N – множина усіх невід’ємних цілих чисел
N+ – множина усіх додатних цілих чисел
Z – м
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов