Линейная корреляция

 

Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле

 

где – выборочное среднее для вариант (наблюдавшихся различных дискретных значений) x_i компоненты X ( - сумма по индексу i произведений вариант x = x_i на соответствующие частоты этих вариант n_x); – выборочная средняя вариант y = y_j на соответствующие частоты этих вариант n_y; ( – сумма по паре индексов ij произведений x_i×y_j на соответствующие частоты этих пар вариант n_xy); – выборочные дисперсии компонент X и Y соответственно;

Выборочное линейное уравнение регрессии Y на X имеет вид

,

где – выборочной коэффициент регрессии Y и X; ; a + bx – линейное приближение условного среднего выборочного , то есть среднего значения случайной переменной Y при условии, что случайная компонента X принимает значение x.

Уравнения регрессии являются математической моделью изучаемой зависимости, исключающей случайные факторы, повлиявшие на полученные результаты.

Рекомендации к решению задачи:

1. Если в корреляционной таблице варианты заданы равноотстоящими соответственно для компоненты X с шагом h₁ и для компоненты Y с шагом h₂, то для упрощения расчетов следует перейти к условным вариантам , где паре вариант x*, y* соответствует максимальная частота n_xy (если максимальная частота n_xy соответствует нескольким парам X = x, Y = y , то выбирается ближайшая к центру корреляционной таблицы). Для новых переменных справедливы следующие соотношения: .

2. Расчеты следует выполнять с учетом правил приближенных вычислений, причем в результатах расчетов после соответствующего округления достаточно оставлять не более трех значащих цифр после запятой; результирующее значение r округлить до сотых.

3. При выводе заключения о тесноте линейной корреляционной связи между Y и X предполагается придерживаться следующей градации:

- если r = 0, то между X и Y линейная корреляционная связь отсутствует (при этом не исключена другая форма корреляционной связи);

- если 0 < |r| £ 0,6, то между X и Y линейная корреляционная связь слабая;

- если 0,6 < |r| £ 0,8, то между X и Y линейная корреляционная связь тесная;

- если 0,8 < |r| < 1, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная;

- если , то между X и Y линейная корреляционная связь функциональная.

 

Задача. В нескольких одинаковых отрезках проволоки исследуется взаимозависимость силы тока Y и температуры X при заданном напряжении. Полученные значения случайных переменных X и Y в условных единицах сведены в корреляционную таблицу

 

X/Y							nx
1,5
2,5
3,5
ny							n =50

 

Найти выборочное линейное уравнение регрессии Y на X, выборочный коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между X и Y.

Решение.

1. Значения как X, так и Y заданы в таблице равноотстоящими, поэтому перейдем к условным вариантам: где учтено, что шаги h₁ = 0,5; h₂ = 20, а максимальной частоте n_xy = 10 соответствует пара x* = 2,5; y* = 80.

 

2. Составим вспомогательную таблицу для условных вариант с учетом: n_u = n_x; n_v = n_y; n_uv = n_xy. В углах клеток с n_uv ¹ 0 укажем отличные от 0 произведения соответствующих вариант u_i×v_j.

 

U/V	–3	–2	–1				nu
–2	6
–1
			–1
nv							n =50

 

3. Находим средние арифметические условных вариант:

 

 

и, следовательно,

 

4. Находим средние арифметические квадратов условных вариант:

 

 

И, следовательно, с требуемой точностью среднеквадратичные отклонения условных вариант:

 

 

5. Находим среднее арифметическое произведения условных вариант , суммируя произведения значений в углах клеток вспомогательной таблицы на соответствующие частоты в этих клетках:

и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции

 

6. Находим выборочный коэффициент регрессии и параметр b:

 

 

7. На основе полученных результатов запишем выборочное уравнение регрессии Y на X

 

8. Поскольку выборочный коэффициент корреляции с точностью до сотых r = 0,89, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная.