рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей - раздел Математика, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 2. Сумма Двух Событий А И В...

Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р(А + В) = р(А) + р(В).

Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий А1, А2,…, Аn равна сумме вероятностей этих событий:

p(А1 + А2 +…+ Аn) = p(А1) + p(А2)+…+ p(Аn).

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу (то есть, когда эти события попарно несовместны, но в результате испытания одно из них произойдет обязательно), равна 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р(А) + р( ) = 1, где – событие противоположное событию А.

 

Теорема 2. Вероятность произведения двух совместных независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

р(А·В) = р(Ар(В).

Теорема 3. Вероятность произведения двух совместных зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность второго:

р(А·В) = р(Ар(В/А) = р(Вр(А/В),

где условная вероятность р(В/А) – вероятность события В при условии, что А произошло; условная вероятность р(А/В) – вероятность события А при условии, что В произошло.

Следствие 1. Если события А1, А2,…, Аn совместны и зависимы, то

p(А1·А2 …·Аn) = p(А1p(А2/A1) p(А3/A1A2) …·p(Аn /A1A2Аn–1).

Следствие 2. Если события А1, А2,…, Аn независимы в совокупности, то

p(А1·А2 …·Аn) = p(А1p(А2) p(А3) …·p(Аn).

Теорема 4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

р(А+В) = р(А)+р(В) – р(А·В).

Следствие 1. Если события А и В совместны и независимы, то

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(Ар(В).

Следствие 2. Если события А и В совместны и зависимы, то

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(Ар(В/А) = р(А) + р(В) – р(Вр(А/В).

Задача 2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках равна, соответственно, 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) хотя бы в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике.

Решение. Введем обозначения событий: Bi = {нужная студенту формула находится в i-м справочнике}, i = 1, 2, 3.

По условию задачи Так как Вi – независимые события, то и противоположные им события – независимы:

 
а) Событие А ={формула содержится только в одном справочнике} эквивалентно событию {формула содержится только в первом справочнике и не содержится во 2-м и 3-м; или формула содержится только во втором справочнике, но не содержится в 1-м и 3-м; или формула содержится только в третьем справочнике, но не содержится в 1-м и 2-м}.

Согласно определениям сложения и умножения событий алгеброй события A является:

 

События – слагаемые в правой части последнего равенства несовместны, а события-сомножители – независимы.

По теоремам сложения и умножения вероятностей имеем:

 

б) Событие В ={формула содержится хотя бы в двух справочниках} эквивалентно событию {формула содержится только в 1-м и во 2-м; или в 1-м и 3-м; или во 2-м и в 3-м; или в 1-м, 2-м, 3-м справочниках}, то есть

 

Аналогично, по теоремам сложения и умножения вероятностей:

 

в) Событие С ={формула содержится во всех трех справочниках} эквивалентно событию {формула содержится и в 1-м, и во 2-м, и в 3-м справочниках}; то есть

По теореме умножения независимых событий

 

г) Событию D ={формула содержится хотя бы в одном справочнике} противоположно событие = {формулы нет ни в одном справочнике}, то есть

Тогда по теореме умножения независимых событий

 

Следовательно,

Примечание. , но расчеты в этом случае более затруднительны.

Ответ: а) p(A) = 0,188; p(B) = 0,788; p(C) = 0,336; p(D) = 0,976.

 

Задача 3. Из 11 карточек, на каждой из которых написано по одной букве: В, Е, Р, О, Я, Т, Н, О, С, Т, Ь, выбирают наугад 3 карточки, одну за другой. Найти вероятность того, что получится слово «ТОН». Рассмотреть два случая: а) выбранные карточки не возвращаются; б) каждая выбранная

 


карточка возвращается в общую совокупность, в которой все карточки перемешиваются перед извлечением следующей.

Решение. Введем следующие события:

А = {при извлечении трех карточек получится слово «ТОН»};

А1 = {первая извлеченная буква – «Т»};

А2 = {вторая извлеченная буква – «О»};

А3 = {третья извлеченная буква – «Н»};

тогда событие А = А1 А2 А3.

а) Если выбранные карточки не возвращаются, то события А1, А2, А3 зависимы, и по теореме умножения для зависимых событий

 

 

б) Если выбранные карточки возвращаются, то события А1, А2, А3 не зависимы и по теореме умножения для независимых событий

 

Ответ: а) б)

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации... Сочинский государственный университет туризма и курортного дела...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоремы сложения и умножения вероятностей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные элементы комбинаторики
Пусть даны 2 множества: {а , а ,…, а } и {b , b ,…,b }. Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m

Формула полной вероятности и формула Байеса
  Пусть гипотезы В1, В2, …, Вn образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в ре

Вероятность события в условиях схемы Бернулли
Несколько испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в любом из этих испытаний не зависит от исхода других испытаний. Схема Бернулли: производится

Отклонение относительной частоты от вероятности
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появ

Основные характеристики случайных величин
Определение 4. Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания.

Нормальное распределение
Наиболее важным с экономической точки зрения является нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если Для нормально распределенной сл

Двумерная случайная величина
Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной. Определение 11. Возможны

Неравенства Маркова и Чебышева
  Неравенство Маркова. Если все значения случайной величины X неотрицательны, то вероятность того, что она примет з

Неравенства Маркова и Чебышева в условиях схемы Бернулли
  Здесь М(X) = np и D(X) = npq. Тогда неравенство Маркова записывается как: - первая форма неравенства; - вторая форма неравенства

Статистическое распределение
Различают два вида совокупностей однородных объектов: 1. Генеральная – исходное множество объектов с соответствующим признаком, о котором необходимо составить представление; 2. Вы

Статистического распределения выборки
Определение 17. Выборочное среднее – среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности . Определение 18. Выборочной

Точечные оценки
Определение 20. Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется приближенное значение, полученное по данным выборки. Определение 21.

Интервальные оценки
Определение 25. Интервал (q – d, q + d), в пределах которого с вероятностью g находится оцениваемый параметр генеральной совокупности q

Линейная корреляция
  Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле

Статистические гипотезы
Определение 26. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 27.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183
x с о т ы е д о л и x

Нормальной случайной величины генеральной совокупности
q = q(γ,n) (n – объем выборки, γ – доверительная вероятность) γ n γ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги