Основные характеристики случайных величин

Определение 4. Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания.

Определение 5. Дискретной случайной величиной называется величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, то есть такое множество, элементы которого можно пронумеровать.

Определение 6. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между возможными значениями Х и их вероятностями:

 

х	х1	х2	…	xn
p(х)	p(х1)	p(х2)	…	p(хn)

где .

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение s(X).

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется соотношением:

М(Х) = .

Дисперсия дискретной случайной величины определяется соотношением:

.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины определяется по формуле

.

С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной величины определяет среднее арифметическое значение, которое принимает случайная величина при очень большом числе испытаний.

Дисперсия же определяет среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания при очень большом числе испытаний.

И дисперсия, и среднее квадратическое отклонение характеризуют степень рассеяния случайной величины Х в области ее математического ожидания.

Свойства математического ожидания:

1. М(С) = С, где С = const;

2. М(СХ) = С×М(Х);

3. М(Х ± Y) = М(Х) ± M(Y);

4. М(Х×Y) = М(Х)×M(Y), если Х и Y – независимые случайные величины.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0;

2. D(CX) = C²·D(X);

3. ;

4. D (Х ± Y) = D(Х) + D(Y), если X и Y - независимые случайные величины.

Определение 7. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Определение 8. Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция, определяемая соотношением:

F(x) = p(X < x) = . (5)

Для дискретной случайной величины

F(x) = p(X < x) = .

 

Интегральная функция распределения обладает следующими свойствами:

1) 0 £ F(x) £ 1, F(– ¥) = 0, F(+ ¥) = 0;

2) F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₁) £ F(x₂) при x₁ £ x₂;

3) p(x₁ < X < x₂) = F(x₂) – F(x₁).

Определение 9. Дифференциальной функцией распределения f(x) или плотностью вероятности называется первая производная от интегральной функции распределения: f(x) = F¢ (x). Понятие f(x) применимо только для непрерывных случайных величин.

Функция f(x) обладает следующими свойствами:

1) f(x) ³ 0;

2) ; (6)

3) p(x₁ £ X £ x₂) = . (7)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяются соотношениями:

 

Замечание. Если значения непрерывной случайной величины X заполняют некоторый интервал (a, b), т.е. f(x) ³ 0 при x Î (a, b), f(x) º 0 при x Ï (a, b), тогда

 

Для вычисления дисперсии можно использовать формулу:

D(X) = М(Х ²) – М ²(Х).

Задача. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Найти:

1) постоянный параметр A;

2) функцию распределения F(x);

3) математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение ;

4) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1; 4);

5) построить графики функций f(x) и F(x).

Решение. Распишем функцию плотности распределения следующим образом:

 

1) Постоянный параметр A находится из условия (6). С учетом областей изменения аргумента x с различным аналитическим заданием f(x) имеем:

 

Поскольку подынтегральная функция в двух крайних интегралах суммы тождественно равна 0, то равны 0 и сами эти интегралы. В силу этого:

 

2) Интегральный закон распределения находим согласно (5) также с учетом областей изменения аргумента х с различным аналитическим заданием f(x).

Для х < 0: в этой области значений х.

Для 0 £ x £ 3:

 

Для х > 3:

Таким образом,

 

 

1) Найдем математическое ожидание

 

Найдем дисперсию

 

Тогда .

4) Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 4) по формуле (7):

,

так как х = 4 принадлежит третьей области изменения х, а значение функции в этой области равно 1; х = 1 принадлежит второй области изменения аргумента х, а значение функции в этой области рассчитывается при подстановке данного аргумента х в выражение

5) Используя полученные функции f(x) и F(x), строим их графики

f(x) F(x) 1 1   2/3 0,5 0,5     x x –1 0 1 2 3 4 –1 0 1 2 3 4   Рис. 1. Рис. 2.