рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Двумерная случайная величина

Двумерная случайная величина - раздел Математика, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 10. Упорядоченная Пара Случайных Величин ...

Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p(Х = xi; Y = yj).

Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (xi; yj) этой величины и их вероятностей pij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы

Y X Y = y1   Y = y2   … Y = yn
X = x1 p11 p12 p1n
X = x2 p21 p22 p2n
X = xm pm1 pm2 pmn

 

Так как события (Х = xi; Y = yj), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей pij в данной таблице равна 1.

Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам

(10)

Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:

(11)

Математические ожидания компонент Х и Y находятся следующим образом:

(12)

Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

(13)

где математическое ожидание произведения компонент (суммирование производится по всем возможным парам индексов ij).

Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание

M(Z) = M(X) + M(Y), (14),

а дисперсия

D(Z) = M(Z 2) – M 2(Z). (15)

Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина = (Х; Y). Найти:

1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2) математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния ; ковариацию компонент cov(X, Y);

3) условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);

4) закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);

5) закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);

6) построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.

 

X Y y1 = –1 y2 = 0 y3 = 1
x1 = 1 0,05 0,2
x2 = 2 0,1 0,1 0,1
x3 = 3 0,1 0,15
x4 = 4 0,05 0,15

Решение.

1) Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений xi и yj случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:

 

X
p(X) 0,25 0,3 0,25 0,2

 

Y –1
p(Y) 0,25 0,3 0,45

2) Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:

M(X) = 1×0,25 + 2×0,3 + 3×0,25 + 4×0,2 = 2,4;

M(Y) = –1×0,25 + 0×0,3 + 1×0,45 = 0,2.

Следовательно, центр рассеивания системы случайных величин (Х; Y) определяется радиус-вектором .

Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора надо знать M(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:

M(XY) = –1×2×0,1 –1×3×0,1–1×4×0,05+1×1×0,2+1×2×0,1+1×4×0,15 = 0,3.

Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(XM(Y) = 0,3 – 2,4×0,2 = – 0,18.

3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности

 

Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:

X
p(X /Y = 1) 0,45 0,22 0,33

(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).

Найдем математическое ожидание

M (X /Y = 1) = 1×0,45 + 2×0,22 + 3×0 + 4×0,33 = 2,21.

4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:

Т
р(Т) 0,25 0,3 0,25 0,2

Найдем М(Т) и D(T):

 

5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями xi + yj, и вероятностей этих значений, равных p(Х=xi; Y=yj)= pij:


xi
yj –1 –1 –1 –1
xi + yj
pij 0,1 0,1 0,05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,1 0,15

Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:

Z
p(Z) 0,15 0,4 0,3 0,15

(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).

Найдем M(Z) и D(Z):

M(Z) = 1×0,15 + 2×0,4 + 3×0,3 + 5×0,15 = 2,6 или

M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;

D(Z) = 12×0,15 + 22×0,4 + 32×0,3 + 52×0,15 – 2,62 = 1,44.

6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения:

 

F(z) 0,85   0,5   0,15 z   –1 0 1 2 3 4 5 6   Рис. 3.

 


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации... Сочинский государственный университет туризма и курортного дела...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Двумерная случайная величина

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные элементы комбинаторики
Пусть даны 2 множества: {а , а ,…, а } и {b , b ,…,b }. Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m

Теоремы сложения и умножения вероятностей
Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Формула полной вероятности и формула Байеса
  Пусть гипотезы В1, В2, …, Вn образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в ре

Вероятность события в условиях схемы Бернулли
Несколько испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в любом из этих испытаний не зависит от исхода других испытаний. Схема Бернулли: производится

Отклонение относительной частоты от вероятности
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появ

Основные характеристики случайных величин
Определение 4. Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания.

Нормальное распределение
Наиболее важным с экономической точки зрения является нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если Для нормально распределенной сл

Неравенства Маркова и Чебышева
  Неравенство Маркова. Если все значения случайной величины X неотрицательны, то вероятность того, что она примет з

Неравенства Маркова и Чебышева в условиях схемы Бернулли
  Здесь М(X) = np и D(X) = npq. Тогда неравенство Маркова записывается как: - первая форма неравенства; - вторая форма неравенства

Статистическое распределение
Различают два вида совокупностей однородных объектов: 1. Генеральная – исходное множество объектов с соответствующим признаком, о котором необходимо составить представление; 2. Вы

Статистического распределения выборки
Определение 17. Выборочное среднее – среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности . Определение 18. Выборочной

Точечные оценки
Определение 20. Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется приближенное значение, полученное по данным выборки. Определение 21.

Интервальные оценки
Определение 25. Интервал (q – d, q + d), в пределах которого с вероятностью g находится оцениваемый параметр генеральной совокупности q

Линейная корреляция
  Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле

Статистические гипотезы
Определение 26. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 27.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183
x с о т ы е д о л и x

Нормальной случайной величины генеральной совокупности
q = q(γ,n) (n – объем выборки, γ – доверительная вероятность) γ n γ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги