Координатное представление векторов - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Пусть Мы Имеем Прямоугольную Систему Координат В Пространстве. Обозначим Един...
Пусть мы имеем прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначим единичные векторы (орты ) осей Ox, Oy, Oz соответственно через причем .
Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор , равный вектору . Из точки Мопустим перпендикуляр на плоскостьхOу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах и построим прямоугольник ОАММ3, диагональю которого будет вектор . Из рис. 1.7 видно, что или .
Рис. 1.7
Векторы , , называются составляющими или компонентами вектора , а их величины ||=Х, ||=Y, ||=Z координатами этого вектора.
Определение 1.Проекции вектора на соответствующие координатные оси называется его составляющими или компонентами.
Определение 2.Величины проекций вектора на соответствующие координатные оси называются его координатами.
Компоненты вектора выразим через его координаты и единичные векторы : =Хi, =Yj, =Zk .
Подставляя эти значения в равенство и обозначив через получим:
(1.4.1)
Равенство (1.4.1) можно записать в виде:
(1.4.2)
Замечание 1.Равные векторы имеют одинаковые координаты.
Замечание 2.Разложение вектора в виде (1.4.1) возможно только единственным способом.
Из единственности разложения (1.4.1) вектора по ортам, следует, что если координаты любых двух векторов и равны, т.е. , то эти векторы тоже равны .
Вектор , идущий от начала точки О к точке называется радиус - вектором этой точки, и его координаты совпадают с соответствующими координатами точки (рис. 1.8), Х=х, Y=y, Z=z.
Рис. 1.8
Поэтому , или . Пусть - вектор, координаты начала и конца которого известны и . Тогда координаты вектора выражаются по формулам :
(1.4.3)
Из рис. 1.9 видно, что
(1.4.4)
Рис. 1.9
Используя свойства проекций (п.1.2.), имеем: , и аналогичным образом находим .
Разложение вектора по ортам будет иметь следующий вид:
(1.4.5)
Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (1.4.1) вектора называется разложением вектора по базису .
Замечание.Разложение вектора на плоскости по базису имеет вид .
1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.
Правило 1.При сложении векторов их одноименные координаты складываются:
, ,
(1.5.1)
Правило 2.Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.
или (1.5.2)
Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты , т.е. если , то .
ВВЕДЕНИЕ... ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ... Векторы в евклидовом пространстве...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Координатное представление векторов
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Векторы в евклидовом пространстве
Из школьного курса математики известно, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом (рис. 1.1).
&nb
Проекция вектора
Проекцией вектора на заданную ось lназывается величина вектора
Декартовы прямоугольные координаты
Положение точки в пространстве будем определять относительно пространственной декартовой прямоугольной системы координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение понятия вектора.
2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?
3. Основные операции над векторами.
4. Что называется проекцией вектора на
Понятие об уравнениях линий и поверхностей
Пусть на плоскости задана некоторая линия l. Выберем какую-либо систему координат, например, прямоугольную систему координат XOY.
Уравнение F(x,y)
Общее уравнение прямой на плоскости
Положение прямой на плоскости однозначно определяется заданием точки на прямой и вектором, перпендикулярным (нормальным) к ней (рис. 3.2).
Уравнение пучка прямых на плоскости
Пучком прямых, проходящих через заданную точку (центр пучка), называется множество всех прямых, проходящих через эту точку.
Если точка
Окружность
Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от центра (рис.5.1)
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1, F1,
Директрисы эллипса и гиперболы
Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом параболы, и фиксированной прямой, называе
Задачи для самостоятельной работы
1. Исследовать какие линии определяются уравнениями:
а) 2x2+2y2+6x-3y-8=0
в) x2+y2-2y+1=0
с) x2+y2+2x+10
Ответы к 5.8
1. а) Окружность с центром в точке Си R=
Вопросы для самопроверки
1. Как преобразуются координаты любой точки М(x,y), если:
а) оставить ось абсцисс без изменения, переменить направление на оси ординат;
б) за ось абсцисс принять прежнюю ось ордин
Ответы к 5.9
1. а) x=x1; y=-y1;
б) x=y1; y=x1;
2. Перенести начало координат в точку О1(3,-3).
3. Окружность.
4. Отрезо
Общее уравнение плоскости
Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x0,y0,z0) лежит на плоскости и вектор
Векторное и нормальное уравнение плоскости
Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 6.2), положение которой определено единичным вектором
Расстояние от точки до плоскости
Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравнение плоскости позволяет определить расстояние любой точки пространства до этой плоскости.
Теорема: Расстояние от то
Пучок плоскостей
Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
(A1x + B1y
Вопросы для самопроверки
1. Записать общее уравнение плоскости. Что означают коэффициенты А, В, С, при x,y,z?
2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(x0,y0,z0) с
Цилиндрические поверхности
Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением:
F(x,y)=0 (7.2.1.)
Конусы второго порядка
Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением:
Эллипсоиды и гиперболоиды
Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая в некоторой ("канонической" для нее) прямоугольной системе координат ("каноническое") уравнение:
Параболоиды
Эллиптическим, соответственно гиперболическим параболоидом называется всякая поверхность, которая имеет каноническое уравнение
Задачи для самостоятельной работы
Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал:
Приложения квадратичных форм (часть I, 5.3), преобразование координат (часть II, 4.1-4.2)
1. Найти тип и канон
Новости и инфо для студентов