рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Координатное представление векторов

Координатное представление векторов - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Пусть Мы Имеем Прямоугольную Систему Координат В Пространстве. Обозначим Един...

Пусть мы имеем прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначим единичные векторы (орты ) осей Ox, Oy, Oz соответственно через причем .

Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор , равный вектору . Из точки Мопустим перпендикуляр на плоскостьхOу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах и построим прямоугольник ОАММ3, диагональю которого будет вектор . Из рис. 1.7 видно, что или .

 

 

 


Рис. 1.7

Векторы , , называются составляющими или компонентами вектора , а их величины ||=Х, ||=Y, ||=Z координатами этого вектора.

Определение 1.Проекции вектора на соответствующие координатные оси называется его составляющими или компонентами.

Определение 2.Величины проекций вектора на соответствующие координатные оси называются его координатами.

Компоненты вектора выразим через его координаты и единичные векторы : =Хi, =Yj, =Zk .

Подставляя эти значения в равенство и обозначив через получим:

(1.4.1)

Равенство (1.4.1) можно записать в виде:

(1.4.2)

Замечание 1.Равные векторы имеют одинаковые координаты.

Замечание 2.Разложение вектора в виде (1.4.1) возможно только единственным способом.

Из единственности разложения (1.4.1) вектора по ортам, следует, что если координаты любых двух векторов и равны, т.е. , то эти векторы тоже равны .

Вектор , идущий от начала точки О к точке называется радиус - вектором этой точки, и его координаты совпадают с соответствующими координатами точки (рис. 1.8), Х=х, Y=y, Z=z.

 
 

 


Рис. 1.8

Поэтому , или . Пусть - вектор, координаты начала и конца которого известны и . Тогда координаты вектора выражаются по формулам :

(1.4.3)

Из рис. 1.9 видно, что

(1.4.4)

 

 


Рис. 1.9

Используя свойства проекций (п.1.2.), имеем: , и аналогичным образом находим .

Разложение вектора по ортам будет иметь следующий вид:

(1.4.5)

Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (1.4.1) вектора называется разложением вектора по базису .

Замечание.Разложение вектора на плоскости по базису имеет вид .

1.5. Операции над векторами, заданными
в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.

Правило 1.При сложении векторов их одноименные координаты складываются:

, ,

(1.5.1)

Правило 2.Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.

или (1.5.2)

Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты , т.е. если , то .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ВВЕДЕНИЕ... ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ... Векторы в евклидовом пространстве...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Координатное представление векторов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Векторы в евклидовом пространстве
Из школьного курса математики известно, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом (рис. 1.1). &nb

Решение.
+

Проекция вектора
Проекцией вектора на заданную ось lназывается величина вектора

Декартовы прямоугольные координаты
Положение точки в пространстве будем определять относительно пространственной декартовой прямоугольной системы координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в

Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и

Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Так как единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Ozпрямоугольной системы к

Угол между векторами
Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что (1.6.3.1)

Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов

Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением вектора на вектор

Свойства векторного произведения
1). 2).

Координатная форма записи векторного произведения
Коротко векторное произведение записывается в виде определителя 3-го порядка: ,

Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов ,

Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не изменяется: а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:

Координатная форма записи смешанного произведения
Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя третьего порядка:

Двойное векторное произведение трех векторов
Двойным векторным произведением трех векторов называется произведение вида: (1

Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение понятия вектора. 2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными? 3. Основные операции над векторами. 4. Что называется проекцией вектора на

Понятие об уравнениях линий и поверхностей
Пусть на плоскости задана некоторая линия l. Выберем какую-либо систему координат, например, прямоугольную систему координат XOY. Уравнение F(x,y)

Параметрические и канонические уравнения прямой
Положение прямой l однозначно определяется точкой M0 на прямой и вектором

Общее уравнение прямой на плоскости
Положение прямой на плоскости однозначно определяется заданием точки на прямой и вектором, перпендикулярным (нормальным) к ней (рис. 3.2).

Уравнение пучка прямых на плоскости
Пучком прямых, проходящих через заданную точку (центр пучка), называется множество всех прямых, проходящих через эту точку. Если точка

Задачи для самостоятельной работы
3.6.1. Найти угловой коэффициент каждой из прямых, которые заданы уравнениями: 1.

Параллельный перенос осей координат
Пусть даны системы координат и

Поворот осей координат
      Рис.4.2 Из рис.4

Окружность
Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от центра (рис.5.1)        

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1, F1,

Директрисы эллипса и гиперболы
Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом параболы, и фиксированной прямой, называе

Задачи для самостоятельной работы
1. Исследовать какие линии определяются уравнениями: а) 2x2+2y2+6x-3y-8=0 в) x2+y2-2y+1=0 с) x2+y2+2x+10

Ответы к 5.8
1. а) Окружность с центром в точке Си R=

Вопросы для самопроверки
1. Как преобразуются координаты любой точки М(x,y), если: а) оставить ось абсцисс без изменения, переменить направление на оси ординат; б) за ось абсцисс принять прежнюю ось ордин

Ответы к 5.9
1. а) x=x1; y=-y1; б) x=y1; y=x1; 2. Перенести начало координат в точку О1(3,-3). 3. Окружность. 4. Отрезо

Общее уравнение плоскости
Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x0,y0,z0) лежит на плоскости и вектор

Векторное и нормальное уравнение плоскости
Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 6.2), положение которой определено единичным вектором

Расстояние от точки до плоскости
Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравнение плоскости позволяет определить расстояние любой точки пространства до этой плоскости. Теорема: Расстояние от то

Взаимное расположение двух плоскостей
Пересекающиеся плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (6.5.1) и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (6.5.2)

Пучок плоскостей
Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид: (A1x + B1y

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Пусть заданы три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),

Параметрические и канонические уравнения прямой
Пусть дана точка M0(x0, y0, z0) прямая l и задан направляющий вектор

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть прямая проходит через две данные точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2). В этом случае можно положить, что н

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть даны прямые l1 и l2: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1 (6.9.1) (x-x2)/m2

Задачи для самостоятельного решения
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2, -3, 1) и перпендикулярной вектору

Вопросы для самопроверки
1. Записать общее уравнение плоскости. Что означают коэффициенты А, В, С, при x,y,z? 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(x0,y0,z0) с

Ответы к 6.11.2
1. 5x - 4z – 6 = 0 2. 3x - 2z = 0; , cosb = 0,

Ответы к 6.11.3
1. А, В, С при x, y, z в уравнении Ax + By + Cz + D = 0 есть координаты нормального вектор

Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
  В аналитической геометрии поверхность рассматривается как множество точек в пространстве. Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменны

Цилиндрические поверхности
Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением: F(x,y)=0 (7.2.1.)

Конусы второго порядка
Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением:

Эллипсоиды и гиперболоиды
Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая в некоторой ("канонической" для нее) прямоугольной системе координат ("каноническое") уравнение:

Параболоиды
Эллиптическим, соответственно гиперболическим параболоидом называется всякая поверхность, которая имеет каноническое уравнение

Задачи для самостоятельной работы
Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал: Приложения квадратичных форм (часть I, 5.3), преобразование координат (часть II, 4.1-4.2) 1. Найти тип и канон

Ответы к контрольному заданию
1. 2(+

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги