Методы решения алгебраических уравнений - раздел Математика, Численные методы алгебры Пусть Дана Непрерывная На Некотором Промежутке Функция . Необходимо Найти При...
Все темы данного раздела:
Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ] Роль численныхметодов
Понятие точного и приближенногорешения математическо
Методы решения алгебраических уравнений
Этапы приближенного решенияуравнения - поиск начального приближения или отрезка, содержащего корень - уточнение приближенного решения иетационным методом
Метод деления отрезка попо
Оценкапогрешности и мера обусловленности
Оценка погрешности решения системы через погрешности исходных данный
мера обусловленности матрицы.
Алгебраическаяпроблема собственных значений
По
Квадратурныеформулы
Постановка задачи численногоинтегрирования
Формулы прямоугольников Построение и оценка погрешности
Формулы левых, правыхи средних прямоугольников
Обобщенная формула п
Краевыезадачи для ОДУ
Граничныеусловия
Методстрельбы для краевой задачи с ОДУ второго порядка
Разностныесхемы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка
Простейшаязадача
Роль численных методов
Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. (Для представления решения в графическом
Погрешности данных, метода и вычислений
Почти всегда используемые на практике решения математических задач имеют некоторые погрешности.
Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1. Математическое
Абсолютная и относительная погрешности вычисления
Если - точное значение некоторой величины, а - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет
Обратная задача оценки погрешности
Иногда возникает задача определения допустимой погрешности аргументов, при которой погрешность значений функции будет не более заданной величины .
Используем ранее полученное неравенство
Метод деления отрезка пополам
Одним из итерационных методов является метод деления отрезка пополам (дихотомии, бисекции).
На первом этапе должен быть найден отрезка такой, что < 0.
Тогда отрезок содержит не
Метод хорд
В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина
Метод Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке содержащем корень уравнения (1) график функции заменяется отрезком касательной, проведенной к графику при
Алгебраических уравнений
Рассмотрим задачу решения системы уравнений вида:
(11)
( )
или , где - матрица коэффициентов системы, - вектор неизвестных, - вектор правых частей.
Известно, что
Метод простых итераций
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого:
(26)
Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии
Метод Якоби
Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид:
. ( 27)
Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое уравнение системы
Метод Зейделя
Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:
Компоненты находятся последовательно по формулам:
Запишем этот метод в матричной
Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы
(30)
в действительности решается некоторая систе
Метод простых итераций
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого:
(26)
Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии
Метод Якоби
Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид:
. ( 27)
Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое уравнение системы
Метод Зейделя
Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:
Компоненты находятся последовательно по формулам:
Запишем этот метод в матричной
Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы
(30)
в действительности решается некоторая систе
Степенной метод
Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.
Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что
Метод вращений
Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений.
Сущность метода состоит в следующем.
Известно, что для симметрической матрицы A
Численные методы математического анализа
Содержание этого раздела составляют некоторые численные методы, связанные с тремя классическими темами математического анализа: - приближение заданной функции функцией из некоторого класса;
Постановка задачи
Пусть задана функция . Часто нахождение значений этой функции может оказаться трудоемкой задачей. Например, - параметр в некоторой сложной задаче, после решения которой определяется значение f(x),
Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
Наиболее простой и (для многих случаев) удобной является система функций , . Функция при этом представляет собой многочлен степени (интерполяционный многочлен) с коэффициентами .
Система у
Остаточный член
В узлах многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией, в остальных точках в общем случае не совпадает с (кроме случая, когда многочлен степени не выше ). Разность - - остаточный член. Запишем ее
Постановка задачи
- остаточный член формулы Лагранжа.
Для получено выражение :
(7)
Оно получено в предположении, что производная существует и ограничена. Для одной определенной функции точ
Многочлены Чебышева
Пусть . Рассмотрим функцию вида:
(9)
При :
При : ,
При используем тригонометрическое тождество
Пусть многочлен степени . Получим рекурен
Минимизация оценки остаточного члена
Пусть приближена на отрезке интерполяционным многочленом степени . Оценка остаточного члена:
.
Величина на отрезке [-1,1] будет минимальна, если окажется многочленом . совпадает с
Оценка погрешности по методу Рунге..
Погрешность приближенного решения во многих задачах, когда одним из определяющих параметров алгоритма является положительная величина - шаг сетки, можно записать в виде:
(
Уточнение приближенного решения.
Выражение (30) можно использовать для уточнения приближенной величины , т.к. добавление к ней дает новое приближение , погрешность которого.
(32)
Формула (32) наз
Линейный интерполяционный сплайн
Пусть - разбиение отрезка .
, - заданные значения.
Сплайном первой степени называется :непрерывная на отрезке , линейная на каждом частичном промежутке функция. Его обозначение .
Сходимость.
Пусть на задана последовательность сеток : , , которая удовлетворяют условию при . Для строится интерполяционный сплайн . Интерполяционный процесс сходится, если при для любой функции из некот
Кубический интерполяционный сплайн
Пусть на задана сетка , в узлах которой известны значения функции . Сплайн третьей степени , интерполирующий заданную функцию , определяется как функция, удовлетворяющая условиям:
Пусть требуется найти решение следующей системы линейных алгебраических уравнений
(45)
причем для всех .
Матрица этой системы является трехдиагональной и имеет следующий вид:
Это квадратная матрица размера .
Предположим, что им
Среднеквадратичные приближения.
Однозначной задача определения параметров станет, если рассматривать как показатель качества аппроксимации величину (54) и искать , минимизирующие функцию .
Решение задачи о нахожд
Оценка погрешности.
Пусть существует , непрерывная на .
По формуле Тейлора: .
Интегрируя, получаем:
(60)
Обозначим .
Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид
Обозначим . Тогда
, .
Дифференцируя по , получаем:
, .
Теперь интегрируя по , находим:
Используя теорему о среднем получаем: , где .
Еще р
Оценка погрешности .
Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в п
Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи Коши
,
по начальным данным. Пусть - решение задачи Коши с начальным условием .
Тогда для функции можно написать дифференциальное уравнение
, ,
где
, .
Устойчивость схемы Эйлера на модельной задаче
Для разностных схем, используемых в приближенном решении дифференциальных уравнений, естественно требовать выполнения аналогичного свойства устойчивости:
.
Оказывается, что свойс
Рассмотрим вопрос о сходимости схем семейства (9) в применении к модельной задаче Коши
, , .
Разностная схема (9) принимает вид
,
отсюда можно заключить, что
,
где
,
.
Выведем теперь рекуррентную формулу для погр
Сценарий построения разностных схем
В разделе 3.2.1. был приведен общий вид разностной схемы для многошаговых методов. В частности, для решения задачи Коши
, .
наиболее употребительными являются -шаговые методы вида
Построение двухшаговой и трехшаговой схем
Для составления квадратурной формулы применим интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностями (см. раздел 3.3). Введем функцию , определенную следующим образом:
.
Тогда
Устойчивость на модельной задаче
Исследуем устойчивость разностной схемы (15) на модельной задаче
, , .
Для модельного уравнения схема примет вид
или
Ошибка! Закладка не
Построение неявных схем
Для построения -шаговой неявной (интерполяционной) схемы будем использовать интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по значениям функции в узлах :
,
где
,
Нахождение решения неявной разностной схемы
Двухточечная неявная схема Адамса (19) имеет вид нелинейного уравнения относительно неизвестного значения:
, (20)
где
, .
Для решения уравнения
Граничные условия
Кроме задачи Коши, в которой дополнительные условия, накладываемые на решение ОДУ и его производные, задаются в одной точке , существует большое число задач с дифференциальными уравнениями, в котор
Метод стрельбы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка
Рассмотрим краевую задачу
(22)
(23)
Рассмотрим также задачу Коши для уравнения (22) с начальными условиями
, (24)
где - угол наклона касательной к интег
Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме
(28)
на интервале с краевыми условиями первого рода:
(29)
Если , , то така
Сходимость разностной схемы.
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:
Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными об
Краевые условия 2-го и 3-го рода.
Рассмотрим теперь уравнение (28) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода (30):
Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с условиями на коэффицие
Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме
(28)
на интервале с краевыми условиями первого рода:
(29)
Если , , то така
Сходимость разностной схемы.
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:
Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными об
Краевые условия 2-го и 3-го рода.
Рассмотрим теперь уравнение (28) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода (30):
Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с условиями на коэффицие
Формула Симпсона
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах] Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифф
В соответствии с этим методом приближенное решение задачи Коши ищется с помощью неявной разностной схемы
где . Значение определяется с помощью метода Рунге-Кутты. Для решения неявного нелинейного уравнения предлагается воспользоваться методом последовательных приближений:
.
Новости и инфо для студентов