рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации. - раздел Математика, Численные методы алгебры Рассмотрим Линейное Дифференциальное Уравнение Второго Порядка В Самосопряжен...

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

(28)

на интервале с краевыми условиями первого рода:

(29)

Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне ( - температура в точке , - коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если - кусочно-непрерывные функции. Возможны также другие типы краевых условий:

(30)

При эти условия называются краевыми условиями второго рода, при - условиями третьего рода.

Введем на отрезке равномерную сетку

 

и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (28)-(29) в прогоночном виде

, , (31)

где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .

Перепишем разностную схему (31) в виде

, , (32)

где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:

(33)

Здесь .

Найдем погрешность аппроксимации схемы (33):

 

Пользуясь теперь разложением

 

получаем:

,

Тогда погрешность аппроксимации предстанет в виде:

 

Таким образом, схема (33) будет иметь второй порядок аппроксимации, если будут выполнены условия:

,

,

Например, эти условия выполняются при

(34)

где . Действительно,

,

поэтому

, .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Численные методы алгебры

Введение... Развитие численных методов решения задач Понятие вычислительного... Численные методы алгебры...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах] [Home|Кафедра|ПетрГУ] Роль численныхметодов Понятие точного и приближенногорешения математическо

Методы решения алгебраических уравнений
Этапы приближенного решенияуравнения - поиск начального приближения или отрезка, содержащего корень - уточнение приближенного решения иетационным методом Метод деления отрезка попо

Оценкапогрешности и мера обусловленности
Оценка погрешности решения системы через погрешности исходных данный мера обусловленности матрицы. Алгебраическаяпроблема собственных значений По

Квадратурныеформулы
Постановка задачи численногоинтегрирования Формулы прямоугольников Построение и оценка погрешности Формулы левых, правыхи средних прямоугольников Обобщенная формула п

Краевыезадачи для ОДУ
Граничныеусловия Методстрельбы для краевой задачи с ОДУ второго порядка Разностныесхемы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка Простейшаязадача

Роль численных методов
Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. (Для представления решения в графическом

Погрешности данных, метода и вычислений
Почти всегда используемые на практике решения математических задач имеют некоторые погрешности. Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: 1. Математическое

Абсолютная и относительная погрешности вычисления
Если - точное значение некоторой величины, а - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет

Обратная задача оценки погрешности
Иногда возникает задача определения допустимой погрешности аргументов, при которой погрешность значений функции будет не более заданной величины . Используем ранее полученное неравенство

Методы решения алгебраических уравнений
Пусть дана непрерывная на некотором промежутке функция . Необходимо найти принадлежащие этому промежутку корни уравнения (1) Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из

Метод деления отрезка пополам
Одним из итерационных методов является метод деления отрезка пополам (дихотомии, бисекции). На первом этапе должен быть найден отрезка такой, что < 0. Тогда отрезок содержит не

Метод хорд
В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина

Метод Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке содержащем корень уравнения (1) график функции заменяется отрезком касательной, проведенной к графику при

Алгебраических уравнений
Рассмотрим задачу решения системы уравнений вида: (11) ( ) или , где - матрица коэффициентов системы, - вектор неизвестных, - вектор правых частей. Известно, что

Метод простых итераций
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого: (26) Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии

Метод Якоби
Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид: . ( 27) Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое уравнение системы

Метод Зейделя
Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:   Компоненты находятся последовательно по формулам:   Запишем этот метод в матричной

Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы (30) в действительности решается некоторая систе

Метод простых итераций
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого: (26) Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии

Метод Якоби
Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид: . ( 27) Формулы (27) получаются непосредственно из исходной системы, если i - ое уравнение системы

Метод Зейделя
Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:   Компоненты находятся последовательно по формулам:   Запишем этот метод в матричной

Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы (30) в действительности решается некоторая систе

Степенной метод
Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор. Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что  

Метод вращений
Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений. Сущность метода состоит в следующем. Известно, что для симметрической матрицы A

Численные методы математического анализа
Содержание этого раздела составляют некоторые численные методы, связанные с тремя классическими темами математического анализа: - приближение заданной функции функцией из некоторого класса;

Постановка задачи
Пусть задана функция . Часто нахождение значений этой функции может оказаться трудоемкой задачей. Например, - параметр в некоторой сложной задаче, после решения которой определяется значение f(x),

Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
Наиболее простой и (для многих случаев) удобной является система функций , . Функция при этом представляет собой многочлен степени (интерполяционный многочлен) с коэффициентами . Система у

Остаточный член
В узлах многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией, в остальных точках в общем случае не совпадает с (кроме случая, когда многочлен степени не выше ). Разность - - остаточный член. Запишем ее

Постановка задачи
- остаточный член формулы Лагранжа. Для получено выражение : (7) Оно получено в предположении, что производная существует и ограничена. Для одной определенной функции точ

Многочлены Чебышева
Пусть . Рассмотрим функцию вида: (9) При : При : , При используем тригонометрическое тождество   Пусть многочлен степени . Получим рекурен

Минимизация оценки остаточного члена
Пусть приближена на отрезке интерполяционным многочленом степени . Оценка остаточного члена: . Величина на отрезке [-1,1] будет минимальна, если окажется многочленом . совпадает с

Оценка погрешности по методу Рунге..
Погрешность приближенного решения во многих задачах, когда одним из определяющих параметров алгоритма является положительная величина - шаг сетки, можно записать в виде: (

Уточнение приближенного решения.
Выражение (30) можно использовать для уточнения приближенной величины , т.к. добавление к ней дает новое приближение , погрешность которого. (32) Формула (32) наз

Линейный интерполяционный сплайн
Пусть - разбиение отрезка . , - заданные значения. Сплайном первой степени называется :непрерывная на отрезке , линейная на каждом частичном промежутке функция. Его обозначение .

Сходимость.
Пусть на задана последовательность сеток : , , которая удовлетворяют условию при . Для строится интерполяционный сплайн . Интерполяционный процесс сходится, если при для любой функции из некот

Кубический интерполяционный сплайн
Пусть на задана сетка , в узлах которой известны значения функции . Сплайн третьей степени , интерполирующий заданную функцию , определяется как функция, удовлетворяющая условиям:

Пусть требуется найти решение следующей системы линейных алгебраических уравнений
(45) причем для всех . Матрица этой системы является трехдиагональной и имеет следующий вид:   Это квадратная матрица размера . Предположим, что им

Среднеквадратичные приближения.
Однозначной задача определения параметров станет, если рассматривать как показатель качества аппроксимации величину (54) и искать , минимизирующие функцию . Решение задачи о нахожд

Оценка погрешности.
Пусть существует , непрерывная на . По формуле Тейлора: . Интегрируя, получаем: (60) Обозначим . Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид

Обозначим . Тогда
, . Дифференцируя по , получаем: , .   Теперь интегрируя по , находим:   Используя теорему о среднем получаем: , где . Еще р

Оценка погрешности .
Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в п

Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи Коши
, по начальным данным. Пусть - решение задачи Коши с начальным условием . Тогда для функции можно написать дифференциальное уравнение , , где , .

Устойчивость схемы Эйлера на модельной задаче
Для разностных схем, используемых в приближенном решении дифференциальных уравнений, естественно требовать выполнения аналогичного свойства устойчивости: . Оказывается, что свойс

Рассмотрим вопрос о сходимости схем семейства (9) в применении к модельной задаче Коши
, , . Разностная схема (9) принимает вид , отсюда можно заключить, что , где , . Выведем теперь рекуррентную формулу для погр

Сценарий построения разностных схем
В разделе 3.2.1. был приведен общий вид разностной схемы для многошаговых методов. В частности, для решения задачи Коши , . наиболее употребительными являются -шаговые методы вида

Построение двухшаговой и трехшаговой схем
Для составления квадратурной формулы применим интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностями (см. раздел 3.3). Введем функцию , определенную следующим образом: . Тогда

Устойчивость на модельной задаче
Исследуем устойчивость разностной схемы (15) на модельной задаче , , . Для модельного уравнения схема примет вид   или Ошибка! Закладка не

Построение неявных схем
Для построения -шаговой неявной (интерполяционной) схемы будем использовать интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по значениям функции в узлах : , где ,

Нахождение решения неявной разностной схемы
Двухточечная неявная схема Адамса (19) имеет вид нелинейного уравнения относительно неизвестного значения: , (20) где , . Для решения уравнения

Граничные условия
Кроме задачи Коши, в которой дополнительные условия, накладываемые на решение ОДУ и его производные, задаются в одной точке , существует большое число задач с дифференциальными уравнениями, в котор

Метод стрельбы для краевой задачи с ОДУ 2-го порядка
Рассмотрим краевую задачу (22) (23) Рассмотрим также задачу Коши для уравнения (22) с начальными условиями , (24) где - угол наклона касательной к интег

Сходимость разностной схемы.
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:   Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными об

Краевые условия 2-го и 3-го рода.
Рассмотрим теперь уравнение (28) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода (30):   Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с условиями на коэффицие

Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме (28) на интервале с краевыми условиями первого рода: (29) Если , , то така

Сходимость разностной схемы.
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:   Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными об

Краевые условия 2-го и 3-го рода.
Рассмотрим теперь уравнение (28) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода (30):   Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (31) с условиями на коэффицие

Формула Симпсона
          [О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах] Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифф

В соответствии с этим методом приближенное решение задачи Коши ищется с помощью неявной разностной схемы
  где . Значение определяется с помощью метода Рунге-Кутты. Для решения неявного нелинейного уравнения предлагается воспользоваться методом последовательных приближений: .

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги