МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

 

В.М. Теслюк

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

(Частина 1)

з курсу “Математичне моделювання в САПР”

Для студентів базового напрямку

  Затверджено на засіданні кафедри

ВСТУП

З середини XX століття в різних областях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи та персональні комп’ютери. Виникли такі нові дисципліни, як "математичне моделювання", "теорія математичних обчислень", "математична економіка" і т.д., які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів і явищ, а також методи дослідження цих моделей.

Математична модель - це наближений опис певного класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання - досліджувати ці об'єкти і передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, який дає можливість управляти ним.

Математичне моделювання і пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий чи ускладнений за тими чи іншими причинами. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент в історії, щоб перевірити, "що було б, якби ..." Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення якоїсь хвороби, наприклад чуми, чи здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак усе це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі досліджуваних явищ.

 

“… Цели расчетов – понимание, а не числа”

Р.В.Хемінг

Розділ 1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА МОДЕЛЕЙ ТА ПРОЦЕСУ МОДЕЛЮВАННЯ. РОЛЬ ТА РІВНІ МОДЕЛЮВАННЯ В АВТОМАТИЗОВАНОМУ ПРОЕКТУВАННІ

 

Система автоматизованого проектування (САПР) включає сім видів забезпечень, зокрема: програмне, інформаційне, математичне, технічне, лінгвістичне, організаційне та методичне [1]. Ядром будь-якої САПР є математичне забезпечення.

Математичне забезпечення систем автоматизованого проектування (МЗ САПР) [1 – 4] включає моделі, методи та алгоритми, які використовуються під час автоматизованого проектування (моделювання).

 

Поняття про об’єкт моделювання (проектування) та його основні параметри

Проектування [1, 2] – це комплекс робіт, метою яких є отримання опису ще неіснуючого технічного об’єкта, який достатній для реалізації та… Будь-який об’єкт проектування характеризується множиною параметрів. Під… В процесі автоматизованого проектування окрім терміну “параметр” об’єкту моделювання досить часто використовують…

Поняття моделі та моделювання

Зміст понять “модель”, ”моделювання” в різних сферах науки та техніки можуть дещо відрізнятися. Але незважаючи на це можна виокремити одну… Отже, модель – це спеціальний об’єкт, який в деякому сенсі та з певною… Дещо інше визначення моделі – це об’єкт чи система об’єктів, які в певній мірі подібні до об’єкта моделювання…

Види моделей

Класифікація моделей може здійснюватися за різними критеріями і носить умовний характер. Більшість дослідників поділяють моделі на два великих… Предметні моделі утворюються з сукупності матеріальних об’єктів і… Абстрактні моделі описують об’єкт дослідження за допомогою певної мови. Абстрактність цих моделей проявляється в тому,…

Методи моделювання

Під методом будемо розуміти спосіб розв’язання деякої складної задачі. Досить часто під методом розуміють об’єднання моделей та алгоритмів для… Під час моделювання та проектування складних систем застосовують такі методи… Аналітичні методи призначені для отримання функціональних залежностей шляхом послідовного застосування математичних…

Рівні проектування (моделювання) в САПР

Будь-який об’єкт проектування з позицій системного аналізу можна розглядати як систему. Відповідно під системою [3] будемо розуміти множину… Характерними ознаками складних систем є великі розміри як за кількістю… Під час проектування складних систем часто використовується системний підхід, згідно з яким система розглядається з…

Види опису математичних моделей

У найпростішому випадку математичний опис (математична модель) об’єкта проектування має вигляд явної функції, що виражає змінну величину (вихідні… , (2.1) де – вихідний параметр моделі, – функція перетворення, – множина вхідних, внутрішніх та параметрів зовнішнього…

Класифікація математичних моделей

В залежності від специфіки зв’язку між характеристиками стану та вхідними даними розрізняють детермінованітастохастичні математичні моделі. В… В більш загальному випадку можемо стверджувати, що в детермінованих… Розрізняють також лінійні та нелінійні, розподілені та зосереджені за просторовими координатами, неперервні та…

Вимоги до математичних моделей

Найважливішою вимогою до математичної моделі є вимога її адекватності(відповідності) об’єкту-оригіналу відносно вибраної системи його характеристик.… Оберненою величиною до точності моделі є її похибка. Для прикладу, відносна… ,

Основні параметри методів та алгоритмів

Основними параметрами методів є похибка (точність), економічність, універсальність, надійність та ін. При переході від математичної моделі до чисельного методу виникають похибки,… Як правило застосування чисельного методу для заданої математичної моделі розбивається на два етапи: формулювання…

Основні етапи математичного моделювання

В загальному випадку в процесі підготовки та проведення математичного моделювання виділяють такі етапи: 1. абстрагування: зосередження на властивостях, які є загальними для багатьох… 2. формулювання: вибір деякої множини засобів (символів, графічних образів тощо) для зображення абстрактних понять; …

Поняття про обчислювальний експеримент

 

Алгоритм побудови математичної моделі

В загальному випадку процес побудови математичної моделі включає такі кроки: 1. Вибір властивостей, які необхідно відобразити в моделі. Цей вибір базується… 2. Збір початкової інформації про вибрані властивості об’єкта. Джерелами відомостей можуть бути досвід та знання…

Одиниці вимірювання

Виміряти деяку величину означає порівняти її з іншою величиною тієї ж фізичної природи, тобто визначити у скільки раз більше (менше) . З метою…

.

Тоді

,

де , – розмірності довжини і часу, відповідно, або .

Визначальним рівнянням для сили є другий закон Ньютона :

.

Тоді

.

Лема. Розмірність будь-якої величини може бути виражена як добуток степенів розмірностей первинних величин.

Наприклад, в механічних системах, розмірність довільної величини може бути виражена наступним чином:

,

де , , –розмірності маси, довжини та часу, відповідно.

Слід зауважити, що величини різної природи можуть мати однакові розмірності, наприклад, момент сили та робота, а також, що зміна одиниці вимірювання деякої фізичної величини приводить до відповідної зміни числового значення цієї величини.

 

Перехід від однієї системи одиниць до іншої

Не зменшуючи загальності будемо розглядати лише механічні системи з трьома основними одиницями вимірювання , , . Чи можна вибрати в ролі первинних… 1) розмірності , , є незалежними функціями від , , , тобто для 2) можливе однозначне зворотне перетворення, тобто , , можна єдиним чином виразити через , , .

Кількість основних одиниць вимірювання

Кількість основних одиниць вимірювання є в якійсь мірі довільна. Розглянемо механічну систему з її трьома основними одиницями , , . Спробуємо… , де – деякий розмірний коефіцієнт, .

Поняття про критерії подібності. Кількість лінійно незалежних критеріїв подібності

В теорії подібності велике значення мають безрозмірні комплекси величин, які є добутком різних степенів цих величин. Їх називають критеріями… . Будемо розглядати електромеханічні системи з їх основними одиницями , , , . Нехай задано величин . Тоді

Поняття подібності

З множини параметрів виділяємо мінімально можливу кількість параметрів, яких достатньо для однозначного визначення стану системи. Ці параметри є… , . Дві системи називаються подібними, якщо будь-які дві відповідні узагальнені координати для будь-яких схожих моментів…

Достатні умови подібності

 

Теорема (про достатні умови подібності):

Достатньою умовою подібності двох систем є рівність будь-яких двох відповідних критеріїв подібності цих систем, складених з їх основних параметрів і початкових умов.

Теорема про достатні умови дає відповідь на питання, що потрібно зробити для того, щоб натура була подібна до моделі? Отже, для цього потрібно:

1) вибрати основних параметрів, включаючи початкові (граничні) умови та час (при необхідності) і скласти з них незалежних критеріїв подібності. Ці критерії називаються визначальними.

2) вибрати параметри натури так, щоб її критерії подібності були такі ж, як і у моделі:

, (3.3)

Умову (3.3) прийнято виражати наступним чином: . Тоді числові значення величин натури можна отримати шляхом вимірювання відповідних величин моделі в системі одиниць , де - одиниці вимірювання первинних величин моделі, - коефіцієнти подібності для цих величин. Причому, при виборі на основі моделі значень для величини натури, довільні значення можна задавати лише для величин натури.

Слід зауважити, також, що коефіцієнти подібності величин виражаються через коефіцієнти подібності первинних величин за допомогою формул розмірності, а за первинні величини не обов’язково вибирати постійні параметри, потрібно лише, щоб відношення цих величин у моделі та натури були постійними.

Достатні умови подібності накладають певні обмеження на параметри систем, обумовлюючи цим їх подібність.

 

Необхідні умови подібності

 

Припустимо, тепер, що дві системи подібні. Який зв’язок існує в цьому випадку між критеріями подібності цих систем, тобто які необхідні умови подібності?

Теорема(про необхідні умови подібності):

Для систем з взаємно-однозначною відповідністю між параметрами та узагальненими координатами, необхідною умовою подібності є рівність відповідних критеріїв подібності, складених з узагальнених координат та параметрів.

Якщо взаємно-однозначна відповідність між параметрами та узагальненими координатами відсутня, то в загальному випадку, не всі критерії подібності моделі та натури будуть рівними. Необхідні умови подібності дають змогу встановити зв’язок між параметрами та узагальненими координатами подібних систем.

Ті критерії подібності, які беруть участь у встановленні достатніх умов подібності складаються лише з параметрів системи, замість узагальнених координат використовуються їх початкові (граничні) значення, а замість часу – величину тієї ж розмірності, яка містить початкові значення швидкості. У необхідних умовах подібності беруть участь всі можливі критерії подібності, оскільки за умови рівності визначальних критеріїв подібності моделі та натури, будуть рівними й усі інші критерії подібності, які є функціонально залежними від визначальних.

 

Теорема

 

Функціональна залежність між величинами, які характеризують досліджуваний процес може бути представлена у вигляді залежності між критеріями подібності, складених з цих величин.

Ця теорема доводить принципову можливість приведення рівнянь до критеріального вигляду. -теорема дає важливий висновок: використовуючи безрозмірні комплекси величин, отримані результати експериментальних досліджень можна поширити на всі подібні процеси. Крім того, кількість величин, для яких потрібно встановити функціональні залежності зменшується. Дійсно, замість величин маємо безрозмірних критеріїв подібності, для виявлення функціональної залежності між якими потрібно провести порівняно невелику кількість вимірювань.

 

Методи та приклади їх використання

Розглянемо вантаж маси , який коливається на пружині жорсткості у в’язкому середовищі з коефіцієнтом в’язкості під дією періодичної сили амплітуди і… . Перший спосіб отримання критеріїв подібності базується на формулі (3.2). У нашому випадку можна прийняти: , , , , , .…

Контрольні запитання

2. Що таке критерій подібності? 3. Які необхідні умови подібності двох систем? 4. Які достатні умови подібності двох систем?

Розділ 4

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ У ФОРМІ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

4.1. Основні рівняння для моделей на компонентному рівні   Математичні моделі на компонентному рівні проектування для багатьох фізичних процесів описуються диференціальними…

Рівняння дифузії

описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризується парметрами . Як частковий випадок, з рівняння (4.5)… , (4.6) де – питома теплоємність, – густина, – коефіцієнт теплопровідності середовища, в якому відбувається процес поширення…

Контрольні запитання

2. Як визначається порядок ДРЧП? 3. Яке ДРЧП називається нелінійним? 4. Яке ДРЧП називається однорідним?

Список літератури

2. Норенков И. П. Системы автоматизированного проектирования : [учеб. пособие для вузов] : В 9 - ти кн. Кн.1. Принципы построения и структура / И.… 3. Петренко А. И. Основы автоматизации проектирования / А. И. Петренко. – К.… 4. Корячко В. П., Курейчик В.М., Норенков И. П. Теоретические основы САПР : учеб. для вузов. / В. П. Корячко, В. М.…

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

 

Частина 1

 

з курсу “Математичне моделювання в САПР”

для студентів базового напрямку

“Комп’ютерні науки ”

 

 

Редактор

Комп’ютерне верстання