рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Методи та приклади їх використання

Методи та приклади їх використання - раздел Математика, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР   Розглянемо Вантаж Маси ...

 

Розглянемо вантаж маси , який коливається на пружині жорсткості у в’язкому середовищі з коефіцієнтом в’язкості під дією періодичної сили амплітуди і частоти . Параметрами системи є: . Узагальнена координата – переміщення вантажу, яка є функцією параметрів та часу:

.

Перший спосіб отримання критеріїв подібності базується на формулі (3.2). У нашому випадку можна прийняти: , , , , , . Тоді розмірність кожної величини можна виразити наступним чином

.

Зведемо показники степенів для кожної величини в таблицю.

Таблиця.

Величина Показники степенів

 

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3.1) матиме вигляд

(3.4)

Ранг матриці системи (3.4) рівний трьом, кількість невідомих величин , тому система (3.4) має лінійно незалежних розв’язків. Це означає, що для знаходження цих розв’язків значення чотирьох величин вибираються довільно, а решта величин шукаються з системи (3.4).

Нехай , . Тоді з системи (3.4) будемо мати, що , , . На основі формули (3.2) отримаємо перший критерій подібності механічної коливальної системи:

.

Для отримання другого критерію подібності приймемо , . Тоді , , і критерій подібності буде мати вигляд .

Аналогічно, прийнявши, що і , отримаємо третій критерій подібності , і, нарешті, приймаючи і , будемо мати четвертий критерій подібності

.

Вищенаведений метод побудови критеріїв подібності називається методом визначальних рівнянь.

Для знаходження критеріїв подібності існує декілька інших методів. Найпростіший випадок - коли задано диференційне рівняння. Для прикладу, маємо двовимірне рівняння теплопровідності .

Використовуючи правило Фур’є, а саме: розмірніcть усіх членів рівняння однакова і відкидаючи знаки диференціювання розділимо всі члени рівняння на один з його членів, тобто , , .

В результаті, після скорочення, отримаємо: , , .

Інший шлях знаходження критеріїв подібності - застосування методу нульових розмірностей.

[x1]=кг; [x2]=м-1; [x3]=м; [x4]=м2кг/сек2; [x5]=ceк; [x6]=сек-1.

На першому етапі виберемо три будь-які параметри, для яких визначник D¹0. Такими параметрами можуть бути х1, х2, х4.

Кг м сек

.

В даному випадку кількість лінійно-незалежних критеріїв подібності рівна трьом (число величин (6) мінус ранг матриці (3)).

На наступному кроці, згідно достатньої умови подібності, перший критерій подібності визначається таким чином:

1)

звідки

звідки

звідки .

Перший критерій подібності запишеться у вигляді .

2),

звідки

звідки

звідки .

Тоді другий критерій подібності запишемо у наступній формі:

.

3),

звідки

звідки

звідки .

В кінцевому випадку вираз для третього критерію подібності має таку форму:

.

Іншим прикладом застосування теорії подібності для дослідження вихідних параметрів пристроїв в мікромасштабі.

Розглянемо переміщення рідини в трубі діаметром d, довжиною l, швидкістю v з густиною рідини ρ та коефіцієнтом в’язкості μ, і зниження тиску на цій довжині дорівнює ΔР.

Запишемо розмірності названих вище величин в системі СІ:

, , , , , .

На першому етапі застосування методу нульових розмірностей виберемо три будь-які параметри, для яких значення визначника D¹0. Такими параметрами можуть бути , , .

Кг м сек

.

У цьому випадку кількість лінійно-незалежних критеріїв подібності дорівнює трьом (кількість величин (6) мінус ранг матриці (3)).

На наступному кроці, згідно з достатньою умовою подібності, перший критерій подібності вимагає дотримання геометричної подібності, тобто: .

Другий критерій подібності визначається так:

.

Маємо три рівняння та три невідомі

, , .

Розв’яжемо отриману систему рівнянь і отримаємо, що:

, , .

Відповідно, другий критерій подібності буде таким .

Отриманий критерій подібності називають критерієм Рейнольдса.

Третій критерій подібності визначаємо:

.

Отже, , , .

Розв’язавши систему з трьох рівнянь з трьома невідомими, отримаємо:

, , .

Третій критерій подібності визначається за формулою та називається критерієм Ейлера.

Проаналізуємо детальніше число Рейнольдса, яке є мірою турбулентності потоку (напрклад, при Re < 2000 представляє ламінарну течію і при Re > 4000 представляє турбулентну течію) та є функцією масштабу рідинної системи.

Не дивно, що, хоча ми зазвичай спостерігаємо турбулентний і хаотичний потік рідини в більшості макроскопічних систем, для потоків рідин в мікроскопічних системах майже завжди характерні умови ламінарних течій (тобто, оскільки розміри рідинної системи зменшені в разів, то Re буде також зменшене в разів, тобто потік рідини стає набагато більш ламінарним в мікромасштабі порівняно з макросистемами). Фактично завдяки такій поведінці існує можливість досягнення повного змішування в мікрорідинних системах, що є дуже перспективним під час вирішення ряду технічних задач.

Наведемо приклад застосування методу на основі правила Фур’є до визначення вихідних теплових пристроїв в мікромасштабі. Отже, візьмемо одновимірне нестаціонарне диференціальне рівняння теплопровідності і розділимо його праву частину на ліву, при цьому опустивши знак диференціювання. Скоротивши позначення температури та підставивши замість параметр довжини , отримаємо безрозмірний комплекс, так зване число Фур’є , який характеризує перехідний процес при перенесенні тепла та визначається з допомогою формули , де – коефіцієнт теплопровідності; – коефіцієнт питомої теплоємності; – густина матеріалу; – параметр часу.

Треба додати, що число Фур’є характеризує проникнення та поширення тепла у випадку перехідного процесу при перенесенні тепла в матеріалі з коефіцієнтом теплопровідності , питомою теплоємністю та густиною .

Отже, якщо вважати, що теплові процеси в макро- і мікропристроях подібні та їх лінійні розміри не менші за один мкм, то, відповідно, мають бути однакові значення критеріїв подібності. У нашому випадку число Фур’є для макросистеми має бути таким, як і для мікросистеми. З вищенаведеного випливає, що із зменшенням параметра довжини у 100 разів перехідний процес перенесення тепла прискорюється в 10 000 разів для постійного числа Фур’є. Тобто швидкодія зростає у 10 000 разів. Отже, отримані результати дають змогу стверджувати, що теплові актюатори в мікросвіті є достатньо швидкодіючими пристроями порівняно з тепловими макропристроями.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА... В М Теслюк МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Методи та приклади їх використання

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Для студентів базового напрямку
“Комп’ютерні науки ”   Затверджено на засіданні кафедри Системи автоматизованого проектування Протокол № 1

Поняття про об’єкт моделювання (проектування) та його основні параметри
  Проектування [1, 2] – це комплекс робіт, метою яких є отримання опису ще неіснуючого технічного об’єкта, який достатній для реалізації та виготовлення об’єкта в

Поняття моделі та моделювання
  Зміст понять “модель”, ”моделювання” в різних сферах науки та техніки можуть дещо відрізнятися. Але незважаючи на це можна виокремити одну визначальну спільну властивість: модель за

Види моделей
  Класифікація моделей може здійснюватися за різними критеріями і носить умовний характер. Більшість дослідників поділяють моделі на два великих класи: предметні (екс

Методи моделювання
  Під методом будемо розуміти спосіб розв’язання деякої складної задачі. Досить часто під методом розуміють об’єднання моделей та алгоритмі

Рівні проектування (моделювання) в САПР
  Будь-який об’єкт проектування з позицій системного аналізу можна розглядати як систему. Відповідно під системою [3] будемо розуміти множину елементів, які знаход

Види опису математичних моделей
В загальному випадку під математичною моделлю (ММ) розуміють будь-який математичний опис, що відображає з потрібною точністю структуру та/або процес функціонування деякої реальної системи в реальни

Класифікація математичних моделей
  В залежності від специфіки зв’язку між характеристиками стану та вхідними даними розрізняють детермінованітастохастичні математичні моделі. В

Вимоги до математичних моделей
  Найважливішою вимогою до математичної моделі є вимога її адекватності(відповідності) об’єкту-оригіналу відносно вибраної системи його характеристик. Під цим, як пра

Основні параметри методів та алгоритмів
  Основними параметрами методів є похибка (точність), економічність, універсальність, надійність та ін. Пр

Основні етапи математичного моделювання
Враховуючи вище сказане, математичне моделювання, у широкому значенні цього терміну, можна трактувати як процес побудови та дослідження математичної моделі з метою фіксації та вивч

Поняття про обчислювальний експеримент
На сучасному етапі розвитку науки і техніки роль математичного моделювання значно зросла у зв’язку з інтенсивним застосуванням комп’ютерної техніки. Сьогодні важко уявити собі проведення фундамента

Алгоритм побудови математичної моделі
  В загальному випадку процес побудови математичної моделі включає такі кроки: 1. Вибір властивостей, які необхідно відобразити в моделі. Цей вибір базується

Одиниці вимірювання
  Виміряти деяку величину означає порівняти її з іншою величиною

Перехід від однієї системи одиниць до іншої
  Не зменшуючи загальності будемо розглядати лише механічні системи з трьома основними одиницями вимірювання

Кількість основних одиниць вимірювання
  Кількість основних одиниць вимірювання є в якійсь мірі довільна. Розглянемо механічну систему з її трьома основними одиницями

Поняття про критерії подібності. Кількість лінійно незалежних критеріїв подібності
  В теорії подібності велике значення мають безрозмірні комплекси величин, які є добутком різних степенів цих величин. Їх називають критеріями подібності і позначають

Поняття подібності
Конкретизуємо зміст понять, які розглядалися раніше в широкому змісті. Під системою будемо розуміти сукупність фізичних об’єктів (елементів системи), об’єднаних на основі деякої ознаки, що надає си

Контрольні запитання
1. Що Ви розумієте під подібністю? 2. Що таке критерій подібності? 3. Які необхідні умови подібності двох систем? 4. Які достатні умови подібності двох систем? 5

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ У ФОРМІ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
  4.1. Основні рівняння для моделей на компонентному рівні   Математичні моделі на компонентному рівні проектування для багать

Рівняння дифузії
(4.5) описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризуєт

Контрольні запитання
1. Які ДРЧП використовуються на компонентному рівні проектування? 2. Як визначається порядок ДРЧП? 3. Яке ДРЧП називається нелінійним? 4. Яке ДРЧП називається однорідним?

Список літератури
1. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования : учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / И. П. Норенков. – М. : Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 336 с. 2. Норенков И.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги