Реферат Курсовая Конспект
Методи та приклади їх використання - раздел Математика, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР Розглянемо Вантаж Маси ...
|
Розглянемо вантаж маси , який коливається на пружині жорсткості у в’язкому середовищі з коефіцієнтом в’язкості під дією періодичної сили амплітуди і частоти . Параметрами системи є: . Узагальнена координата – переміщення вантажу, яка є функцією параметрів та часу:
.
Перший спосіб отримання критеріїв подібності базується на формулі (3.2). У нашому випадку можна прийняти: , , , , , . Тоді розмірність кожної величини можна виразити наступним чином
.
Зведемо показники степенів для кожної величини в таблицю.
Таблиця.
Величина | Показники степенів | ||
Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3.1) матиме вигляд
(3.4)
Ранг матриці системи (3.4) рівний трьом, кількість невідомих величин , тому система (3.4) має лінійно незалежних розв’язків. Це означає, що для знаходження цих розв’язків значення чотирьох величин вибираються довільно, а решта величин шукаються з системи (3.4).
Нехай , . Тоді з системи (3.4) будемо мати, що , , . На основі формули (3.2) отримаємо перший критерій подібності механічної коливальної системи:
.
Для отримання другого критерію подібності приймемо , . Тоді , , і критерій подібності буде мати вигляд .
Аналогічно, прийнявши, що і , отримаємо третій критерій подібності , і, нарешті, приймаючи і , будемо мати четвертий критерій подібності
.
Вищенаведений метод побудови критеріїв подібності називається методом визначальних рівнянь.
Для знаходження критеріїв подібності існує декілька інших методів. Найпростіший випадок - коли задано диференційне рівняння. Для прикладу, маємо двовимірне рівняння теплопровідності .
Використовуючи правило Фур’є, а саме: розмірніcть усіх членів рівняння однакова і відкидаючи знаки диференціювання розділимо всі члени рівняння на один з його членів, тобто , , .
В результаті, після скорочення, отримаємо: , , .
Інший шлях знаходження критеріїв подібності - застосування методу нульових розмірностей.
[x1]=кг; [x2]=м-1; [x3]=м; [x4]=м2кг/сек2; [x5]=ceк; [x6]=сек-1.
На першому етапі виберемо три будь-які параметри, для яких визначник D¹0. Такими параметрами можуть бути х1, х2, х4.
Кг м сек
.
В даному випадку кількість лінійно-незалежних критеріїв подібності рівна трьом (число величин (6) мінус ранг матриці (3)).
На наступному кроці, згідно достатньої умови подібності, перший критерій подібності визначається таким чином:
1)
звідки
звідки
звідки .
Перший критерій подібності запишеться у вигляді .
2),
звідки
звідки
звідки .
Тоді другий критерій подібності запишемо у наступній формі:
.
3),
звідки
звідки
звідки .
В кінцевому випадку вираз для третього критерію подібності має таку форму:
.
Іншим прикладом застосування теорії подібності для дослідження вихідних параметрів пристроїв в мікромасштабі.
Розглянемо переміщення рідини в трубі діаметром d, довжиною l, швидкістю v з густиною рідини ρ та коефіцієнтом в’язкості μ, і зниження тиску на цій довжині дорівнює ΔР.
Запишемо розмірності названих вище величин в системі СІ:
, , , , , .
На першому етапі застосування методу нульових розмірностей виберемо три будь-які параметри, для яких значення визначника D¹0. Такими параметрами можуть бути , , .
Кг м сек
.
У цьому випадку кількість лінійно-незалежних критеріїв подібності дорівнює трьом (кількість величин (6) мінус ранг матриці (3)).
На наступному кроці, згідно з достатньою умовою подібності, перший критерій подібності вимагає дотримання геометричної подібності, тобто: .
Другий критерій подібності визначається так:
.
Маємо три рівняння та три невідомі
, , .
Розв’яжемо отриману систему рівнянь і отримаємо, що:
, , .
Відповідно, другий критерій подібності буде таким .
Отриманий критерій подібності називають критерієм Рейнольдса.
Третій критерій подібності визначаємо:
.
Отже, , , .
Розв’язавши систему з трьох рівнянь з трьома невідомими, отримаємо:
, , .
Третій критерій подібності визначається за формулою та називається критерієм Ейлера.
Проаналізуємо детальніше число Рейнольдса, яке є мірою турбулентності потоку (напрклад, при Re < 2000 представляє ламінарну течію і при Re > 4000 представляє турбулентну течію) та є функцією масштабу рідинної системи.
Не дивно, що, хоча ми зазвичай спостерігаємо турбулентний і хаотичний потік рідини в більшості макроскопічних систем, для потоків рідин в мікроскопічних системах майже завжди характерні умови ламінарних течій (тобто, оскільки розміри рідинної системи зменшені в разів, то Re буде також зменшене в разів, тобто потік рідини стає набагато більш ламінарним в мікромасштабі порівняно з макросистемами). Фактично завдяки такій поведінці існує можливість досягнення повного змішування в мікрорідинних системах, що є дуже перспективним під час вирішення ряду технічних задач.
Наведемо приклад застосування методу на основі правила Фур’є до визначення вихідних теплових пристроїв в мікромасштабі. Отже, візьмемо одновимірне нестаціонарне диференціальне рівняння теплопровідності і розділимо його праву частину на ліву, при цьому опустивши знак диференціювання. Скоротивши позначення температури та підставивши замість параметр довжини , отримаємо безрозмірний комплекс, так зване число Фур’є , який характеризує перехідний процес при перенесенні тепла та визначається з допомогою формули , де – коефіцієнт теплопровідності; – коефіцієнт питомої теплоємності; – густина матеріалу; – параметр часу.
Треба додати, що число Фур’є характеризує проникнення та поширення тепла у випадку перехідного процесу при перенесенні тепла в матеріалі з коефіцієнтом теплопровідності , питомою теплоємністю та густиною .
Отже, якщо вважати, що теплові процеси в макро- і мікропристроях подібні та їх лінійні розміри не менші за один мкм, то, відповідно, мають бути однакові значення критеріїв подібності. У нашому випадку число Фур’є для макросистеми має бути таким, як і для мікросистеми. З вищенаведеного випливає, що із зменшенням параметра довжини у 100 разів перехідний процес перенесення тепла прискорюється в 10 000 разів для постійного числа Фур’є. Тобто швидкодія зростає у 10 000 разів. Отже, отримані результати дають змогу стверджувати, що теплові актюатори в мікросвіті є достатньо швидкодіючими пристроями порівняно з тепловими макропристроями.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА... В М Теслюк МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Методи та приклади їх використання
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов