рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Рівняння дифузії

Рівняння дифузії - раздел Математика, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР ...

(4.5)

описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризується парметрами . Як частковий випадок, з рівняння (4.5) можна отримати класичне рівняння теплопровідності

, (4.6)

де – питома теплоємність, – густина, – коефіцієнт теплопровідності середовища, в якому відбувається процес поширення тепла, – інтенсивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто – константи, то з рівняння (4.6) отримаємо

, (4.7)

де називається коефіцієнтом температуропровідності, – густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (4.7) отримаємо класичне рівняння Фур’є

. (4.8)

Стаціонарні рівняння описують встановлені процеси, в яких величини, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (4.2) та дифузії (4.5) будуть мати вигляд:

. (4.9)

При і рівняння (4.9) набуває вигляду

, (4.10)

і називається рівнянням Пуассона, а при отримуємо частковий випадок рівняння Пуассона, а саме рівняння Лапласа

. (4.11)

Встановлені періодичні процеси, тобто, процеси, в яких зовнішні збурення є періодичними з частотою і амплітудою і шукана функція є також періодичною, описуються рівнянням Гельмгольца

, (4.12)

де , а невідома функція буде трактуватися як амплітуда коливань. Рівняння Гельмгольца описує також процеси розсіювання та дифракції.

Рівняння Лапласа (4.11) на практиці зустрічається дуже часто, тому важливо мати його вигляд у різних системах координат. У сферичній системі координат (, , ) рівняння Лапласа набуває вигляду

, (4.13)

а у циліндричній системі координат (,,) – вигляду

. (4.14)

Іншими прикладами рівнянь, які відіграють важливу роль у математичному моделюванні різноманітних фізичних процесів та явищ є:

a) телеграфне рівняння (описує розподіл електричного струму в провіднику):

; (4.15)

b) бігармонійне рівняння (описує коливання пружних тіл, таких як балка, пластина і т.д.):

, (4.16)

c) рівняння на власні значення (дає змогу визначати резонансні частоти коливань):

. (4.17)

 

4.2. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними

 

Класифікація диференціальних рівнянь може здійснюватися за різними ознаками. Класифікація відіграє важливу роль, оскільки для кожного класу рівнянь розроблені відповідна теорія та методи розв’язування. Основними критеріями класифікації ДРЧП є:

1) Порядок рівняння. Порядком рівняння є найвищий порядок похідної, що входить в це рівняння. Наприклад,

– рівняння 2-го порядку,

– рівняння 1-го порядку.

Найпоширенішими є ДРЧП 2-го порядку.

2) Число незалежних змінних. Незалежними змінними є змінні від яких залежить невідома (шукана) функція. На практиці в ролі незалежних змінних виступають звичайні Декартові координати у просторі та час. Наприклад, диференціальне рівняння (4.16) має дві незалежні змінні та , диференціальне рівняння (4.14) – три ().

3) Лінійність. Розрізняють лінійні та нелінійні рівняння з частинними похідними. У лінійних рівняннях залежна змінна (функція) та всі її похідні входять лінійно, тобто вони не перемножуються, не підносяться до квадрату, не є аргументами інших функцій і т.д. У протилежному випадку рівняння буде нелінійним. Приклади нелінійних рівнянь наведено нижче:

,

або

.

В загальному випадку, лінійним рівнянням другого порядку з двома незалежними змінними називається рівняння такого виду

, (4.18)

де - задані функції змінних та .

4) Однорідність.Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо вільний член тотожньо дорівнює нулю в заданій області визначення. У протилежному випадку рівняння називається неоднорідним. Наприклад, рівняння Пуассона – неоднорідне, а рівняння Лапласа –однорідне.

5) Вид коефіцієнтів. Якщо коефіцієнти рівняння є сталими величинами, то таке рівняння називається рівнянням з постійними коефіцієнтами, у протилежному випадку – рівнянням зі змінними коефіцієнтами.

Усі лінійні ДРЧП другого порядку відносяться до одного з трьох типів: параболічного, гіперболічного та еліптичного. Рівняння параболічного типу визначаються умовою (в термінах формули (4.18)) . Рівняння дифузії (та всі його часткові випадки) має параболічний тип. Рівняння гіперболічного типу описують коливальні процеси і визначаються умовою . Рівняння еліптичного типу описують встановлені процеси і задаються умовою . Зокрема, рівняння Пуассона і Лапласа є еліптичними. У випадку змінних коефіцієнтів тип рівняння може змінюватися від точки до точки.

6) Стаціонарність. Якщо ДРЧП включає похідну по часу, то таке диференціальне рівняння називається нестаціонарним в іншому випадку – стаціонарним. Приклади стаціонарних ДРЧП є (4.13), (4.14) та (4.16), а приклади нестаціонарних – (4.2) – (4.8).

 

4.3. Методи розв’язування ДРЧП

 

Розрізняють десять груп методів розв’язування ДРЧП:

1. Методи розділення змінних: у випадку повного розділення змінних, ДРЧП з незалежними змінними зводиться до звичайних диференціальних рівнянь. При частковому розділенні змінних одне ДРЧП зводиться до декількох диференціального рівняння в частинних похідних з меншим числом незалежних змінних [5].

2. Методи інтегральних перетворень: дає змогу звести ДРЧП з незалежними змінними до ДРЧП з () незалежними змінними, тобто зменшити кількість незалежних змінних.

3. Методи розв’язування координат: шляхом певного перетворення координат ДРЧП зводиться або до звичайного диференціального рівняння, або до більш простого диференціального рівняння в частинних похідних.

4. Перетворення залежної змінної: вихідне ДРЧП перетворюється до такого ДРЧП від іншої невідомої функції, яке розв’язується легше.

5. Чисельні методи: полягають у заміні диференціальних рівнянь їх дискретними різницевими аналогами або апроксимації шуканої функції інтерполяційними поліномами. У результаті розв’язування ДРЧП зводиться до розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Найбільш поширеними чисельними методами є: метод скінчених різниць, метод скінчених елементів та метод граничних елементів [5 - 16].

6. Методи теорії збурень: полягають у лінеаризації нелінійних рівнянь. Вихідна нелінійна задача зводиться до послідовності лінійних.

7. Методи функцій Гріна[16, 23]: початкові та граничні умови заміняються системою елементарних джерел (функцій Гріна) і задача розв’язується для кожного випадку. Повний розв’язок вихідної задачі отримують шляхом сумування розв’язків, отриманих для елементарних джерел.

8. Методи інтегральних рівнянь: диференціальне рівняння в частинних похідних зводиться до інтегрального рівняння, тобто рівняння, в якому невідома функція знаходиться під знаком інтегралу.

9. Варіаційні методи[22]: замість ДРЧП розв’язується деяка задача мінімізації функціоналу. Виявляється, що функція, яка є мінімумом деякого функціоналу, є також і розв’язком вихідного диференціального рівняння в частинних похідних. Варіаційні методи можна застосовувати лише тоді, коли існує відповідний функціонал, який в таких випадках є математичним записом фундаментальних законів природи, таких як закон збереження енергії.

10. Методи розкладу за власними функціями: розв’язок ДРЧП шукається у вигляді ряду за власними функціями. Ці власні функції є розв’язком так званої задачі на власні значення, що відповідає вихідній задачі для диференціального рівняння в частинних похідних.

 

4.4. Початкові та крайові умови. Крайові задачі

 

Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати також початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області моделювання, в якій протікає цей процес, що описується крайовими умовами. Математично це пов’язано з тим, що диференціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для звичайного диференціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від довільних сталих. Для рівнянь з частковими похідними, загальний розв’язок залежить, в загальному випадку, від довільних функцій. Тому, для того, щоб виділити потрібний розв’язок з множини можливих розв’язків, який описує заданий реальний фізичний процес, необхідно задати додаткові умови, а саме початкові та крайові умови. Часто початкові та крайові умови об’єднують одним поняттям, а саме крайовими умовами. Тоді відповідна задача, тобто задача знаходження розв’язку заданого диференціального рівняння, який задовольняє заданим крайовим умовам, називається крайовою задачею.

Важливим питанням є скільки початкових та крайових умов потрібно накласти, щоб отримати єдиний розв’язок крайової задачі? Якщо в диференціальне рівняння входить похідна по часу -го порядку, то початкових умов має бути і задаються вони на шукану функцію та її похідні по часу до порядку включно. Найвищий порядок похідної за просторовими координатами визначає кількість крайових умов, які потрібно задати в кожній точці границі. Так, якщо цей порядок рівний , то в кожній точці границі необхідно задати крайових умов.

Крайовою умовою будемо називати значення шуканої функції на границі області моделювання. Розрізняють три типи крайових умов:

1) крайова умова І роду:

, (4.19)

2) крайова умова ІІ роду:

, (4.20)

3) крайова умова ІІІ роду:

, (4.21)

де - деяка задана функція.

Необхідно зауважити, що задана функція може бути рівною константі.

Узагальнюючи, граничні умови (4.19 – 4.21) можна записати наступним чином:

(4.22)

де і - задані кусково-неперервні функції. Тоді умова (4.19) слідує з (4.22) як частковий випадок при умова (4.20) – при і умова (4.21) – при .

Необхідно зауважити, що при аналізі теплових процесів використовується ще четверта та п’ята крайові умови, хоча їх можна побудувати на основі існуючих (4.19 – 4.22).

Усі рівняння в часткових похідних можна розділити на стаціонарні та нестаціонарні. Диференціальне рівняння в часткових похідних, розв’язок якого змінюється в часі, називається нестаціонарним.

На відміну від розв’язку стаціонарних задач (РЧП та краєві умови) розв’язок нестаціонарних задач потребує додаткової компоненти, а саме початкової умови.

Початковою умовою називають значення функції в початковий момент часу, тобто при , яку можна записати:

а у випадку, коли в РЧП присутня друга похідна за часом, то необхідно додати ще одну початкову умову:

при .

4.5. Класифікація та постановки крайових задач

 

Розрізняють три основних типи крайових задач для диференціальних рівнянь:

I.Задача Коші: ставиться для рівнянь гіперболічного та параболічного типів шляхом завдання початкових умов, крайові умови відсутні;

II.Крайова задача для рівнянь еліптичного типу: задаються крайові умови, початкові умови відсутні;

III.Змішана задача (початково-крайова задача): ставиться для рівнянь гіперболічного та параболічного типів шляхом завдання як початкових, так і крайові умов.

Для рівняння коливань задача Коші формулюється наступним чином: знайти , що задовольняє рівняння

(4.23)

та початкові умови:

,

. (4.24)

Для рівняння дифузії задача Коші формулюється так: знайти , що задовольняє рівняння

(4.25)

та початкову умову:

. (4.26)

Крайова задача для еліптичного рівняння полягає в знаходженні функції , що задовольняє рівняння

(4.27)

та крайові умові (4.22).

Для рівнянь Лапласа і Пуассона крайова задача з крайові умовою І роду називається задачею Діріхле, з крайові умовою ІІ роду – задачею Неймана. Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу можуть бути також зовнішніми та внутрішніми.

Змішана задача для рівнянь гіперболічного типу ставиться так: знайти функцію , що задовольняє рівняння коливань (4.23), початкові умови (4.24) та крайову умову (4.22), причому мають виконуватися умови узгодженості:

,

. (4.28)

І нарешті, змішана задача для рівняння дифузії (4.25) полягає в знаходженні функції , що задовольняє рівняння (4.25), початкову умови (4.26) та крайову умову (4.22).

 

4.6. Поняття про коректність постановок крайових задач

 

Оскільки крайові задачі є математичними моделями реальних фізичних процесів, то їх постановки повинні задовольняти наступним, цілком природнім, вимогам:

1) розв’язок крайової задачі має існувати в деякому класі функцій ;

2) розв’язок крайової задачі повинен бути єдиним в деякому класі функцій ;

3) розв’язок крайової задачі повинен неперервно залежати від даних задачі (початкових та граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів рівняння).

Неперервна залежність розв’язку крайової задачі від деякого даного цієї задачі означає наступне: нехай послідовність даних збігається до при і – відповідні розв’язки задачі; тоді при . Наприклад, якщо вихідну задачу можна представити у вигляді операторного рівняння , де – лінійний оператор, то неперервна залежність розв’язку від вільного члена буде забезпечена, тоді коли обернений оператор існує і він обмежений.

Вимога неперервної залежності розв’язку крайової задачі обумовлена тим, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту наближено. Тому потрібно гарантувати, що розв’язок задачі в рамках вибраної математичної моделі не буде суттєво залежати від похибок вимірювання.

Задача, розв’язок якої задовольняє перераховані вище вимоги (1 – 3) називається коректно поставленою (за Адамаром [24]), а множина функцій – класом коректності. Задача, розв’язок якої не задовольняє хоча б одній з вимог (1 – 3) називається некоректно поставленою.

Вперше три умови коректності крайових задач математичної фізики сформулювали Д. Гільберт і Р. Курант [25]: існування, однозначна визначеність і неперервна залежність рішення від даних задачі. Відносно останнього сказано: “… воно має основне значення і зовсім не є тривіальним. … Математична задача тільки в тому випадку може вважатися адекватною для опису реальних явищ, якщо зміні запропонованих даних в достатньо тісних границях відповідає така ж мала, т.б. обмежена наперед заданими границями зміна рішення”.

 

4.7. Поняття про класичні та узагальнені розв’язки крайових задач

 

Розглянуті крайові задачі характеризуються тим, що їх розв’язки повинні бути достатньо гладкими і задовольняти рівняння в кожній точці області завдання цього рівняння. Такі розв’язки прийнято називати класичними, а постановку відповідної крайової задачі – класичною постановкою. Класичні постановки накладають досить жорсткі вимоги стосовно гладкості даних та розв’язків, наприклад, для розглянутих крайових задач, класичний розв’язок повинен бути двічі неперервно диференційованих в області задання. Однак, на практиці для цілого ряду важливих випадків вхідні дані можуть мати особливості або як прийнято казати бути сингулярними. Тому в таких випадках класичних постановок задач може бути недостатньо. Для того, щоб здійснити постановки таких задач доводиться відмовлятися (частково або повністю) від вимог гладкості розв’язку в області. Дана проблема вирішується шляхом введення поняття так званих узагальнених розв’язків, які базуються на понятті узагальнених функцій.

Узагальнена функція є узагальненням класичного поняття функції. Це узагальнення, з однієї сторони, дає можливість виразити в математичній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, густина заряду, інтенсивність миттєвого точкового джерела і т.д. З іншого боку, в понятті узагальненої функції знаходить відображення той факт, що реально неможливо, наприклад, виміряти густину речовини в точці, а можна виміряти лише середню густину в достатньо малому околі цієї точки. Грубо узагальнюючи, можна сказати, що узагальнена функція визначається своїми “середніми значеннями” в околі точки.

Математично строго узагальнена функція визначається як довільний лінійний неперервний функціонал на деякому просторі основних функцій, тобто узагальнена функція ставить у відповідність деякій “класичній” функції, в загальному випадку, комплексне число. Прикладом узагальненої функції може бути добре відома - функція Дірака.

Наведемо приклад постановки крайової задачі, що описує теплові процеси. Отже, визначити диференціальне рівняння для обчислення температурного поля та поставити початкову і крайові умови для поданої нижче задачі (див. рис. 4.1). Задано двовимірну область W (АВСД), температуру на границях АВ, АД та ДС (границя ВС є теплоізольованою), джерело тепла розміщене в центрі області і підтримується при постійній температурі 100 °С, в усіх внутрішніх точках області та на границі ВС в початковий момент часу температура рівна нулю (), крок рівномірний, (, ).

 

  Рис.4.1. Приклад області моделюванн крайової задачі

Розв’язання задачі. Область моделювання наведено на рис.4.1. Це є двовимірна область у формі прямокутника ABCD, що залежить від двох просторових координат, а саме: і . Розподіл температури в області описується диференціальним рівнянням теплопровідності (Фур’є):

, (4.29)

де - температура; - час; і - просторові координати, а a - коефіцієнт температуропровідності.

Для завершення математичної формалізаціїт задачі до рівняння (4.29) необхідно додати початкову та крайові умови.

Початкова умова має наступну форму:

, (4.30)

а краєві умови:

°C, де ; (4.31)

°C, де ;

°C, де ;

°C.

при , .

Сформульована крайова задача (4.29 – 4.31) дає змогу провести аналіз перехідного процесу. При нехтуванні перехідним процесом можна скористатися стаціонарним рівнянням наступного виду з крайовими умовами (4.31).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА... В М Теслюк МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В САПР...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Рівняння дифузії

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Для студентів базового напрямку
“Комп’ютерні науки ”   Затверджено на засіданні кафедри Системи автоматизованого проектування Протокол № 1

Поняття про об’єкт моделювання (проектування) та його основні параметри
  Проектування [1, 2] – це комплекс робіт, метою яких є отримання опису ще неіснуючого технічного об’єкта, який достатній для реалізації та виготовлення об’єкта в

Поняття моделі та моделювання
  Зміст понять “модель”, ”моделювання” в різних сферах науки та техніки можуть дещо відрізнятися. Але незважаючи на це можна виокремити одну визначальну спільну властивість: модель за

Види моделей
  Класифікація моделей може здійснюватися за різними критеріями і носить умовний характер. Більшість дослідників поділяють моделі на два великих класи: предметні (екс

Методи моделювання
  Під методом будемо розуміти спосіб розв’язання деякої складної задачі. Досить часто під методом розуміють об’єднання моделей та алгоритмі

Рівні проектування (моделювання) в САПР
  Будь-який об’єкт проектування з позицій системного аналізу можна розглядати як систему. Відповідно під системою [3] будемо розуміти множину елементів, які знаход

Види опису математичних моделей
В загальному випадку під математичною моделлю (ММ) розуміють будь-який математичний опис, що відображає з потрібною точністю структуру та/або процес функціонування деякої реальної системи в реальни

Класифікація математичних моделей
  В залежності від специфіки зв’язку між характеристиками стану та вхідними даними розрізняють детермінованітастохастичні математичні моделі. В

Вимоги до математичних моделей
  Найважливішою вимогою до математичної моделі є вимога її адекватності(відповідності) об’єкту-оригіналу відносно вибраної системи його характеристик. Під цим, як пра

Основні параметри методів та алгоритмів
  Основними параметрами методів є похибка (точність), економічність, універсальність, надійність та ін. Пр

Основні етапи математичного моделювання
Враховуючи вище сказане, математичне моделювання, у широкому значенні цього терміну, можна трактувати як процес побудови та дослідження математичної моделі з метою фіксації та вивч

Поняття про обчислювальний експеримент
На сучасному етапі розвитку науки і техніки роль математичного моделювання значно зросла у зв’язку з інтенсивним застосуванням комп’ютерної техніки. Сьогодні важко уявити собі проведення фундамента

Алгоритм побудови математичної моделі
  В загальному випадку процес побудови математичної моделі включає такі кроки: 1. Вибір властивостей, які необхідно відобразити в моделі. Цей вибір базується

Одиниці вимірювання
  Виміряти деяку величину означає порівняти її з іншою величиною

Перехід від однієї системи одиниць до іншої
  Не зменшуючи загальності будемо розглядати лише механічні системи з трьома основними одиницями вимірювання

Кількість основних одиниць вимірювання
  Кількість основних одиниць вимірювання є в якійсь мірі довільна. Розглянемо механічну систему з її трьома основними одиницями

Поняття про критерії подібності. Кількість лінійно незалежних критеріїв подібності
  В теорії подібності велике значення мають безрозмірні комплекси величин, які є добутком різних степенів цих величин. Їх називають критеріями подібності і позначають

Поняття подібності
Конкретизуємо зміст понять, які розглядалися раніше в широкому змісті. Під системою будемо розуміти сукупність фізичних об’єктів (елементів системи), об’єднаних на основі деякої ознаки, що надає си

Методи та приклади їх використання
  Розглянемо вантаж маси , який коливається на пружині жорсткості

Контрольні запитання
1. Що Ви розумієте під подібністю? 2. Що таке критерій подібності? 3. Які необхідні умови подібності двох систем? 4. Які достатні умови подібності двох систем? 5

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ У ФОРМІ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
  4.1. Основні рівняння для моделей на компонентному рівні   Математичні моделі на компонентному рівні проектування для багать

Контрольні запитання
1. Які ДРЧП використовуються на компонентному рівні проектування? 2. Як визначається порядок ДРЧП? 3. Яке ДРЧП називається нелінійним? 4. Яке ДРЧП називається однорідним?

Список літератури
1. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования : учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / И. П. Норенков. – М. : Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 336 с. 2. Норенков И.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги