рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейные функции. Монотонные функции.

Линейные функции. Монотонные функции. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ     Рассмотрим Систему Функций: ...

 

 

Рассмотрим систему функций:

, , , . (***)

Суперпозицию функций системы (***) можно преобразовать, пользуясь правилами элементарной алгебры и специальными правилами:

, , .

В частности, если раскрыть скобки и привести подобные члены, то полученная сумма «одночленов» называется многочленом Жегалкина.

Теорема 1: Для любой функции алгебры логики существует многочлен Жегалкина, задающий эту функцию.

Доказательство: Действительно, в предыдущем параграфе было доказано, что система функций является полной в . Полную систему образует и система функции , так как . Теорема доказана.

Можно доказать, что каждая функция представляется в виде многочлена Жегалкина единственным образом. Это следует из доказанной теоремы и того факта, что число многочленов Жегалкина от переменных равно , т. е. совпадает с числом всех функций алгебры логики от этих переменных.

Определение 1: Функция называется линейной, если имеет место соотношение: .

Теорема 2: Функция, представленная многочленом Жегалкина, существенно зависит от всех входящих в него переменных.

Доказательство: Пусть, например, – переменная, о которой идёт речь в условии теоремы. Сгруппируем члены, и вынесем за скобки. Получим:

,

где функция – не равна тождественно нулю. В противном случае (в силу единственности представления функции многочленом Жегалкина) не входила бы в многочлен для . Возьмем значения переменных , на которых равна . Тогда значение будет зависеть от значения .

Замечание: Множество всех линейных функций составляет замкнутый класс.

Для того чтобы произвольную функцию представить многочленом Жегалкина, нужно выразить все операции через конъюнкцию и отрицание, учитывая, что . Затем следует привести подобные слагаемые, используя при этом правила, указанные выше: , , .

Далее будет рассмотрен класс функций, обладающих несколько иными свойствами.

Упорядочим множество , полагая . Поскольку мы будем иметь дело с функциями от нескольких переменных, то введем частичное упорядочение двоичных наборов одинаковой длины.

Определение 2: Пусть — двоичные наборы. Будем говорить, что предшествует (обозначение ), если для всех , причем, по крайней мере, для одного , имеет место строгое неравенство. Будем писать: , если или наборы и совпадают.

Это упорядочение является только частичным, так как не всякие наборы можно сравнивать.

Определение 3: Функция алгебры логики называется монотонной, если для всяких наборов таких, что имеем неравенство: .

Например, нетрудно заметить, что константы, конъюнкция, дизъюнкция являются монотонными функциями.

Теорема 3: Множество всех монотонных функций образует замкнутый класс.

Доказательство: Т.к. функция — монотонна, то достаточно показать, что если функции , , ,..., являются монотонными, то функция монотонной будет также функция:

.

Рассмотрим два произвольных набора таких, что . В этом случае , где . Следовательно,

и, значит, в силу монотонности функции имеет место неравенство: . Теорема доказана.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ... ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные функции. Монотонные функции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
(для студентов специальности “Прикладная математика”)     У т в е р ж д е н о на заседании кафедры прикладной математики

Отрицание – обозначается ,читается:«не » или «неверно, что ».
2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Даны следующие высказывания: P = «Данное число – целое», Q = «Данное число – положительное», R = «Данное число – простое», S = «Данное число

Формулы алгебры логики. Тавтологии.
В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются формулы из некоторых

Доказательство.
Необходимость: Пусть формулы и

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Определить, является ли данная последовательность символов формулой: 1)

Совершенные нормальные конъюнктивные и дизъюнктивные формы. Полные системы логических связок.
Определение 1:Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных, каждая из которых стоит под знаком отрицания или без него. Например:

Определение 4: Формула, представленная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, называется совершенной нормальной конъюнктивной формой (СНКФ).
Замечание: Каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция), входящая в СНДФ (в СНКФ), должна содержать все пропозиционные буквы, входящие в исходную формулу. Только в этом случае м

Алгоритм преобразования произвольной формулы в СНДФ.
1) Выразить все логические операции через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. 2) Используя дистрибутивные законы, преобразовать формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнк

Замечание о представлении произвольной формулы многочленом Жегалкина.
Введём следующие обозначения: , .

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Привести к СНДФ данные формулы: 1) , 2)

Определения.
  В математике принято одной и той же буквой обозначать различные объекты, т. е. под буквой фактически понимается переменная, принимающая значения из некоторого множества. Такие перем

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикат при этих значениях принимает значение «истина», называется областью истинности предиката.
Определение 4: Предикат , определённый на множестве

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения? 1) ; 4)

Формулы и тавтологии логики предикатов.
    При введении определения формул логики предикатов будем использовать следующие обозначения (алфавит): 1)

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Записать следующие высказывания в виде формул логики предикатов. 1) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и

Некоторые схемы доказательства теорем.
    Многие теоремы в математике имеют форму импликации . В этом случае условие

Рассмотрим некоторые схемы доказательства теорем.
1) Пусть и - одноместные предикаты,

Упражнения для самостоятельной работы.
  1.Записать на языке логики предикатов аксиому математической индукции.   2. Записать на языке логики предикатов следующую те

Формальный язык логики высказываний.
  Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах: 1)

Свойства теорий первого порядка.
    Все результаты этого параграфа относятся к произвольной теории первого порядка. Всяк

Теоремы о полноте.
    Теорема 1: Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является логически общезначимой. Доказательство:

Определение 4: Всякий терм, не содержащий переменных, называется замкнутым термом.
Счётная интерпретация теории будет и

Формальная арифметика. Система аксиом.
    Пусть - теория первого порядка, в число предикатных букв которой входит

Принцип двойственности.
    Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций:

Теорема Поста.
    В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём сле

Упражнения для самостоятельной работы.
1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги