рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Доказательство.

Доказательство. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ Необходимость: Пусть Формулы ...

Необходимость: Пусть формулы и равносильны. Тогда, по определению, для любого набора значений пропозиционных переменных , ,..., формулы и принимают одинаковые истинностные значения. Это значит, что высказывания и будут либо оба истинны, либо оба ложны. В обоих случаях эквивалентность истинна. Следовательно, исходная формула есть тавтология.

Достаточность: Пусть формула в условии теоремы есть тавтология, тогда для любого набора значений пропозиционных переменных, например, , ,..., её значение будет «истина», т.е. эквивалентность есть истинное высказывание. Следовательно, высказывания и либо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, для любых значений пропозиционных переменных формулы и принимают одинаковые истинностные значения, поэтому они равносильны. Теорема доказана.

Основная цель в логике высказываний – это поиск тавтологий (общезначимых или тождественно-истинных формул). При построении произвольной теории обычно выбирают систему аксиом. Каждая аксиомы – это тавтология. Логическая структура теорем – это тавтология. Поэтому, поиск новых аксиом – актуальная задача. Для обозначения тавтологий будем использовать символ: ╞.

Рассмотрим несколько правил построения новых тавтологий из уже существующих. Зная ограниченное число простых тавтологий и несколько таких правил, можно вывести большое количество различных общезначимых формул.

Первое правило основано на теореме.

 

Теорема 5: Пусть - произвольная формула, - формула, получаемая из подстановкой формулы вместо простого компонента везде, где он встречается в . Тогда, если ╞ , то ╞ .

 

Замечание: Далее будем считать эквивалентные формулы взаимозаменяемыми.

Рассмотрим второе правило построения тавтологий непосредственным путем. Сначала рассмотрим формулы, построенные из пропозиционных переменных с помощью операций .

Определение 7: Формула называется негативом формулы , если она получена заменой каждого вхождения на символ и наоборот и заменой каждого вхождения на выражение и наоборот.

Например, негативом формулы есть формула .

Нижеследующая теорема связывает понятия негатива и тавтологии.

 

Теорема 6: Пусть есть формула, построенная из пропозиционных переменных только с помощью операций . Пусть есть негатив формулы . Тогда ╞ .

 

Замечание: Выше было показано, что операции можно исключить из любой формулы. Система логических связок является полной. Значит, теорему 6 можно применять гораздо шире.

 

Вместо построения таблицы истинности для произвольной формулы можно применять арифметические процедуры. Основой для такого подхода служат следующие соглашения:

1. И = 1, Л = 0.

2. Каждая пропозиционная переменная принимает значения 0 или 1. При этом формула интерпретируется как истинностная функция.

3. Суммы и произведения, в которые входят слагаемые и сомножители 0 и 1, подсчитываются как в обычной арифметике за одним исключением: 1+1=0.

Принимая во внимание все выше сказанное, находим, что основные истинностные функции задаются следующими формулами:

,

,

,

,

.

В этих терминах тавтологиями будут те функции, которые тождественно равны 1.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ... ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
(для студентов специальности “Прикладная математика”)     У т в е р ж д е н о на заседании кафедры прикладной математики

Отрицание – обозначается ,читается:«не » или «неверно, что ».
2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Даны следующие высказывания: P = «Данное число – целое», Q = «Данное число – положительное», R = «Данное число – простое», S = «Данное число

Формулы алгебры логики. Тавтологии.
В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются формулы из некоторых

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Определить, является ли данная последовательность символов формулой: 1)

Совершенные нормальные конъюнктивные и дизъюнктивные формы. Полные системы логических связок.
Определение 1:Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных, каждая из которых стоит под знаком отрицания или без него. Например:

Определение 4: Формула, представленная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, называется совершенной нормальной конъюнктивной формой (СНКФ).
Замечание: Каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция), входящая в СНДФ (в СНКФ), должна содержать все пропозиционные буквы, входящие в исходную формулу. Только в этом случае м

Алгоритм преобразования произвольной формулы в СНДФ.
1) Выразить все логические операции через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. 2) Используя дистрибутивные законы, преобразовать формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнк

Замечание о представлении произвольной формулы многочленом Жегалкина.
Введём следующие обозначения: , .

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Привести к СНДФ данные формулы: 1) , 2)

Определения.
  В математике принято одной и той же буквой обозначать различные объекты, т. е. под буквой фактически понимается переменная, принимающая значения из некоторого множества. Такие перем

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикат при этих значениях принимает значение «истина», называется областью истинности предиката.
Определение 4: Предикат , определённый на множестве

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения? 1) ; 4)

Формулы и тавтологии логики предикатов.
    При введении определения формул логики предикатов будем использовать следующие обозначения (алфавит): 1)

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Записать следующие высказывания в виде формул логики предикатов. 1) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и

Некоторые схемы доказательства теорем.
    Многие теоремы в математике имеют форму импликации . В этом случае условие

Рассмотрим некоторые схемы доказательства теорем.
1) Пусть и - одноместные предикаты,

Упражнения для самостоятельной работы.
  1.Записать на языке логики предикатов аксиому математической индукции.   2. Записать на языке логики предикатов следующую те

Формальный язык логики высказываний.
  Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах: 1)

Свойства теорий первого порядка.
    Все результаты этого параграфа относятся к произвольной теории первого порядка. Всяк

Теоремы о полноте.
    Теорема 1: Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является логически общезначимой. Доказательство:

Определение 4: Всякий терм, не содержащий переменных, называется замкнутым термом.
Счётная интерпретация теории будет и

Формальная арифметика. Система аксиом.
    Пусть - теория первого порядка, в число предикатных букв которой входит

Принцип двойственности.
    Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций:

Линейные функции. Монотонные функции.
    Рассмотрим систему функций: ,

Теорема Поста.
    В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём сле

Упражнения для самостоятельной работы.
1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги