Геометрические вероятности

I. Геометрическая вероятность на прямой.

Пусть на числовой оси имеется отрезок [a,b] и на него наудачу бросается точка. Вероятность того, что эта точка попадёт на [c,d][a,b], вычисляется по формуле:

Р{ω[c,d]}= – геометрическая вероятность на прямой.

II. Геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть на плоскости фигура g составляет часть фигуры G. Вероятность того, что наудачу брошенная в фигуру G точка попадёт в фигуру g G находится по формуле:

Р{ ωg}=– геометрическая вероятность на плоскости.

Здесь и – площади фигур g и G соответственно.

III. Геометрическая вероятность в пространстве.

Пусть в пространстве () имеется фигура d, составляющая часть фигуры D. Вероятность того, что наудачу брошенная в фигуру D точка попадёт в фигуру d, определяется по формуле:

Р {ωd}= - геометрическая вероятность в пространстве.

Здесь и – объёмы фигур d и D соответственно.

Замечание 6.1. Геометрические вероятности позволяют устранить недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов.

Пример 6.2.(задача о встрече) Два студента условились встретиться в определённом месте между 12 и 1 ч дня. Пришедший первым ждёт второго ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если между 12 и 1 ч дня каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода.

Пусть x­– момент прихода первого студента (необязательно, чтобы он пришёл первым), а y – момент прихода второго. Тогда Ω={(x,y)| x,y[0,1]}, А=={(x,y)| |x-y|}.

1) xy, x - y =, y = x -;

2) x<y, y - x =, y = x +;

P(A)= =1-=