Реферат Курсовая Конспект
Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа - раздел Математика, ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Теорема 11.1. (Пуассон...
|
Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p→0, причём n∙p=a – величина постоянная, то Pn(k).
По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях
Pn(k)= pkqn-k=pk(1 - p)n-k.
Отсюда
Pn(k)= pk(1 - p)n-k=pk(1 - p)n-k.
По условию a=n∙pp=, подставляя, получим:
Pn(k)==
=…=
=….
Переходя к пределу при n→∞
==[ т.к. ].
Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p→0, причём a=n∙p10. Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных параметров a и k.
Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа.
Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях
Pn(k), где – малая функция Лапласа, , q=1-p.
Имеются специальные таблицы значений функции . Нужно учитывать, что функция – чётная, т.е. =.
Теорема 11.4.(интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях, определятся выражением:
Pn(k1,k2), где – функция Лапласа, , , q=1-p.
Функция Лапласа – нечётная, т.е. . Значения находят по таблице.
Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p=0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.
По локальной теореме Муавра-Лапласа х == = –1,25. Значение (–1,25)=(1,25)=0,1826 находится по таблице.
Тогда вероятность
P100(75)*0,18260,04565.
Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.
n=100, p=0,8, q=0,2, k1=70, k1=100.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа === –1,25, === 5. По таблице (-2,5)= -(2,5)= -0,4938, (5)=0,5, P100(70,100)(5) -(-2,5)=0,5+0,4938=0,9938
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Учреждение образования Гомельский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов