Случайные величины

Определение 12.1. Случайной величиной Х называется функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел . Т.о. Х(ω): Ω→.

Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω={(г,г),(г,p),(p,г),(p,p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0,1,2}. Составим таблицу

Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения.

Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x)=F_X(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х

F(x)=P{X< x}=P{X(-∞; x)}.

Замечание 12.4.Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси Ox, то функция распределения F(x) с геометрической точки зрения – это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадёт левее точки х.

Свойства функции распределения

Свойство 12.5.Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для таких, что выполняется условие F(x) F(x).

Поскольку , то события {}={}+{}, по определению функции распределения F()=F()+P{}.

Т.к. P{}0, то F()>F().

Свойство 12.6. Для таких, чтосправедливо равенство P{}= F()–F().

Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков и < на < и .

Свойство 12.8. F(x)=0; F(x)=1.

F(-∞)=P{X<-∞}=P(Ø)=0, F(+∞)=P{X<+∞}=P(Ω)=1.

Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева (F(x)=F()).

Свойство 12.10. P{Xx}=1-F(x).

{X<+∞}={X<x}+{Xx}, по свойству вероятности P{X<+∞}=P{X<x}+P{Xx};

P(Ω)=1= F(x)+ P{Xx}, откуда P{Xx}=1- F(x).