Лекція 9 Статистичні моделі на основі математичній теорії планування експерименту

Лекція 9

Статистичні моделі на основі математичній теорії планування експерименту

Планування експерименту - це процес вибору числа і умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для рішення поставленої задачі з завданою… Експериментальні досліди на базі математичної теорії планування експерименту… Математичні моделі на основі активного експерименту мають вигляд рівнянь регресії, як і при пасивному експерименті. І…

Рис. 3.1. Область визначення факторів.

Значить, при числі факторів більше двох ми повинні отримати деяку гіперповерхню в факторному просторі, яку важко уявити графічно. В даному випадку факторний простір - прямокутник.

Для планування експерименту необхідно ввести деякі позначення, які не зустрічалися раніше.

Рівень фактора - можливе значення фактора, яке він приймає в процесі експерименту.

Фіксований набір рівнів факторів визначає один із дослідів. Якщо перебрати всі можливі рівні які може приймати фактор, то отримуємо багато вимог проведення експерименту.

Число можливих станів (N) об'єкта можна визначити, якщо піднести число рівнів (q) в степінь - число факторів (k)

(3.15)

Всі реальні технологічні об'єкти легкої промисловості залежать від багатьох факторів. Якщо число факторів рівне 4, а кількість рівнів 5, то можлива кількість дослідів рівна 625, тобто при проведені експерименту необхідно виділити тільки такі досліди, які представляють найбільший інтерес і дають максимальну інформацію.

Інтервалом варіювання факторів () називається така числова величина, яка при додаванні до нульового рівня або різниці з нульового рівня факторів придбає значення верхнього або нижнього рівня відповідно.

Інтервалом варіювання факторів () звичайно визначається похибка вимірювання і областю існування факторного простору.

При плануванні експерименту фактори повинні бути некорельовані і сумісні.

Некорельованність факторів дозволяє змінювати кожний фактор незалежно один від одного, що перевіряється розрахунком і перевіркою значимості парної кореляції.

Сумісність факторів передбачає їх існування в завданому факторному просторі в будь-яких комбінаціях. Значення факторів відносно яких розглядається рівні дії факторів називаються нульовими рівнями ; .

Нульові рівні визначають точку факторного простору (М), яка найбільш добре вивчена і відносно якої починаються дослідження всього факторного простору.

Область S (рис. 3.1.) називається областю визначення факторів. Розміщення точок експерименту в факторному просторі називається планом експерименту. Якщо всі фактори (х_i) змінюються в своїх масштабах і розмірностях, то ми отримаємо ненормовані плани.

Теорія планування експерименту припускає роботу з нормованими планами, коли всі фактори в плані експерименту мають безрозмірну форму, для чого здійснюється операція кодування факторів в відповідності з виразом

(3.16)

де, - значення факторів в реальних розмірностях: - нульове значення факторів; - інтервал варіювання факторів; Хі - кодоване значення факторів.

Якщо перенести початок координат в центр плану (т. М) і перейти до координатних значень факторів, то для точки 1 отримаємо (рис. 3.1):

(3.17)

. (3.18)

Аналогічно для точки 2: .

Для точки 3: .

Для точки 4: .

Факторний простір в координатних значеннях змінних завжди має форму квадрату.

На практиці експеримент планується, як правило на двох рівнях, тому для даного випадку план експерименту в вигляді матриці (таблиця 3.3).

Матриця реалізує всі існуючи поєднання факторів для випадку

Такий експеримент називається повним факторним експериментом /П. Ф. Е./

 

Таблиця 3.3. Матриця повного факторного експерименту.

№ досліду
	+1	-1	-1
	+1	+1	-1
	+1	-1	+1
	+1	+1	+1

Матриця повного факторного експерименту для n-ої кількості факторів будується в наступній послідовності:

-рівні фактора чергуються від досліду до досліду (для двофакторного експерименту);

-рівні фактора чергуються через два досліди (для двофакторного експерименту);

якщо би було три фактори, то чергування відбувалося б через чотири досліду.

При побудові матриці ПФЕ для трьох факторів повторюється матриця ПФЕ для факторів, а третій фактор записується з початку на нижньому рівні 4-го досліду, а потім на верхньому рівні також 4- го досліду. Аналогічно будується матриця ІІФЕ для чотирьох факторів.

Стовпець , де всі фактори розглядаються на одному верхньому рівні, характеризує фіктивний фактор, стоячий перед вільним членом в рівнянні регресії. В матриці відображені і значення відгуків () при кожному сполученні факторів.

Матриця повного факторного експерименту володіє наступними властивостями:

-“ ортогональність “- сума добутку двох елементів в строках будь-яких двох стовпців матриці дорівнює нулю:

, (3.19)

де i, j- номер стовпця або номер фактора; і = 0,1,2,....К ( К - загальна кількість факторів); u - номер строки; N - загальне число строк матриці ПФЗ (кількість дослідів);

- “нормування”- сума квадратів елементів любого стовпця рівна кількості дослідів (числу строк):

. (3.20)

- “симетрія” – алгебраїчна сума елементів будь-якого фактора в стовпці рівна нулю;

. (3.21)

- “рототабельність” - дисперсії відгуків на різних відстанях від центру плану постійні і мінімальні.

Розглянуті властивості матриці дозволяють визначити оцінки коефіцієнтів лінійних рівнянь регресії виду:

; (3.22)

із виразів:

; (3.23)

; (3.24)

; (3.25)

розраховані значення коефіцієнтів рівняння регресії необхідно перевірити на статистичну значимість (тобто можливість приймати значення, рійне нулю). Перевірка значимості коефіцієнтів рівняння регресії виконується по критерію Стьюдента (t – критерій). Розрахункове значення критерію Стьюдента визначається з виразу:

(3.26)

де, - значення коефіцієнтів в рівнянні регресії; - дисперсія і-го коефіцієнта регресії, визначається з рівняння

, (3.27)

де - дисперсія відтворення; N- число дослідів.

Дисперсія відтворення визначається на основі паралельних дослідів, поставлених в любій точці плану , звичайно в центрі плану. В результаті паралельних дослідів отримаємо декілька значень і дисперсія відтворення розраховується за виразом:

, (3.28)

де - значення в серії паралельних дослідів; - середнє значення y в цій серії дослідів.

Розрахункове значення критерія Стьюдента () зрівнюється з табличним для рівня значимості // і числа ступенів вільності . Табличне значення критерію Стьюдента приведено в таблиці 3.1.

Якщо /табличне/, то відповідний коефіцієнт є незначним і його можна виключити з рівняння регресії.

Оцінив значимість коефіцієнтів в рівнянні регресії, в подальшому необхідно перевірити адекватність рівняння експериментальним даним за критерієм Фішера.

(3.29)

В формулі (3.29) - дисперсія адекватності;

, (3.30)

де, у_i, значення у, отримане в умовах і-го досліду; - значення у. отримане розрахунковим шляхом за рівнянням регресії; к - мінімально необхідна кількість дослідів, рівна кількості коефіцієнтів в рівнянні регресії; - дисперсія відтворення, розрахована за рівнянням (3.28).

Якщо (табличне), то рівняння адекватне експериментальним даним. Табличне значення приведено в таблиці 3.4. для визначення рівня значимості і числа ступенів вільності (при оцінці дисперсії відтворення, де m- число паралельних дослідів, і дисперсії адекватності ).

На цьому можна зупинити процес вивчення об'єкта і перейти до натуральних значень факторів, користуючись виразом (3.6)

Якщо рівняння не адекватно експериментальним даним, то необхідно його ускладнити, ввести в рівняння нові члени, які мають нелінійності.

Розповсюджений вид нелінійності - парна взаємодія факторів або взаємодія першого порядку, яке означає, що вплив одного фактора на вхідну величину у, залежить від того, яке значення приймають інші фактори.

Рівняння регресії, відображаючи ефект парної взаємодії, мас вигляд:

, (3.31)

де,- коефіцієнт, що характеризує силу парної взаємодії.

Коефіцієнт визначається за тою ж залежністю (3.24, 3.25), що і коефіцієнти , , Або. основою для досліду даних залежностей є умова створення стовпця, що характеризує добуток взаємодії факторів , які задовільняють умовам ортогональності, нормування і симетрії. Введенням допоміжної перемінної і позначивши коефіцієнт взаємодії отримаємо рівняння:

більш простіше ніж рівняння (3.31 )

Ортогональне планування дозволяє визначити коефіцієнти рівняння регресії з високою точністю (оперуємо тільки з реакцією об'єкта) і по зрівнянню простим формулам.

Таблиця 3.4. Значення F – критерій Фішера

.
	161.45	199.5	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88 1	240.54	241.88	243.91	245.95	248.01
	18.513	19.0	19.164	19.247	19.296	19.330	19.353	19.371 1	19.385	19.396	19.413	19.429	1 19.446
	10.128	9.552	9.276	9.120	9.0135	8.941	8.887	8.845	8.8	8.785	8.745	8.7	8.66
	7.709	6.94	6.59	6.388	6.26	6.16	6.09	6.04 1	5.999	5.964	5.9117	5.858	5.8
	6.608	5.786	5.4095	5.19	5.05	4.95	4.876	4.82	4.77	4.735	4.678	4.62	4.56
	5.987	5.143	4.757	4.534	4.387	4.284	1 4.206	4.15 1	4.099	4.08	3.9999	3.94	3.874
	5.59	4.74	4.347	4.12	3.97	3.866	3.787	3.726	3.676	3.636	3.575	3.51	3.4445
	5.318	4.46	4.066	3.84	3.687	3.58	3.5	3.44	3.388	3.35	3.284	3.22	3.15
	5.117	4.256	3.86	3.63	3.482	3.374	3.293	3.23	3.18	3.14	3.073	3.006	1 2.94
	4.965	4.1	3.708	3.49	3.326	3.22	3.13:)	3.07	2.02	2.978	2.91	2.845	2.774
	4.75	3.885	3.49	3.26	3.106	2.996	2.913	2.85	2.796	2.703	2.686	2.617	2.544
	4.60	3.74	3.344	3.112	2.96	2.85	2.764	2.70	2.646	2.6	2.534	2.46	! 2.388
	4.494	3.6337	3.239	3.0069	2.85	1 2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.425	2.35	1 2.275
	4.41	3.555	3.160	2.93	2.773	2.66	2.577	2.5 1	2.46	2.41	2.34	2.27	2.19
	4.38	3.493	3.098	2.866	2.7	2.599	1 2.514	2.447	2.4	2.348	2.277	2.2	2.12