Основные положения

Математическую статистику определяют как науку о методах получения и обработки результатов наблюдений (измерений) для установления закономерностей в массовых случайных явлениях.

Особое внимание в математической статистике получили два типа задач: оценивание и статическая проверка гипотез.

Первая задача состоит в получении точечных и интервальных оценок параметров распределения, вторая – заключается в проверке согласованности результатов эксперимента с гипотезой о распределении вероятностей случайной величины (например, в случае нормального распределения можно проверять гипотезу, согласно которой параметр распределения ). Необходимо отметить, что если бы можно было провести неограниченное число наблюдений, то параметры распределения, например, практически были бы определены и ни о какой статистической задаче говорить уже не пришлось бы. Таким образом, задача статистических выводов появляется именно тогда, когда надо получить наилучшие, в некотором смысле, выводы по ограниченному числу наблюдений. Но тогда сами наблюдения должны отвечать некоторым требованиям. Каким же? Естественно предположить, что результаты наблюдений случайны и независимы.

Определение 1. Пусть X – некоторая случайная величина. Совокупность результатов n наблюдений (измерений)

(9.1)

этой случайной величины называют выборкой, а саму случайную величину X – генеральной случайной величиной либо генеральной совокупностью.

Учитывая вышесказанное, подчеркнем, что, когда речь идет о задаче статистических выводов, подразумевается: элементы выборки есть независимые одинаково распределенные случайные величины, закон распределения которых совпадает с законом распределения генеральной случайной величины X (говоря другими словами, выборка рассматривается априорно). Все характеристики случайной величины X (например, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия и т.д.) именуют генеральными (теоретическими), а характеристики, полученные на основе обработки результатов измерений (выборки), называют выборочными (эмпирическими, статистическими). Далее будем эти характеристики, в отличие от генеральных, отмечать символом «*».

Для того, чтобы те или иные заключения о генеральной случайной величине, сделанные по выборке, были научно обоснованными, необходимо чтобы выборка достаточно полно характеризовала случайную величину, т.е. была репрезентативной (представительной). Выборка (9.1) будет репрезентативной, если ее объем n достаточно велик, а значения выборки независимы, т.е. получены при независимых измерениях величины X в одних и тех же условиях.

Тогда основная задача математической статистики ставится так: на основе репрезентативной выборки, извлекая из нее максимум информации, сделать те или иные научно обоснованные выводы о генеральной случайной величине X.