Точечные оценки числовых характеристик и параметров распределения

Определение 3. Приближение значения параметров закона распределения либо числовых характеристик случайной величины, вычисленные на основе выборки, называют в математической статистике оценками.

Не касаясь методов получения оценок, скажем, что в качестве оценки математического ожидания берут выборочное среднее которое вычисляют по формуле

(9.6)

где n - объем выборки, – i-й элемент выборки.

В качестве оценки дисперсии берут выборочную дисперсию вычисляемую по формуле

(9.7)

где n, – те же, что и в формуле (9.6).

При небольших объемах выборки (ориентировочно ) необходимо в качестве оценки дисперсии брать так называемую «исправленную выборочную дисперсию» вычисленную по формуле

(9.8)

Для удобства вычислений и практически не умаляя точности результатов вычислений в качестве (i-го элемента выборки в формулах (9.7) и (9.8) ) можно брать среднее значение i-го интервала (разряда) в статистическом ряде, считая, что каждый такой «представитель i-го разряда» повторяется число раз. Иногда берут равным одному из концов i-го разряда. Тогда формулы (9.6), (9.7) и (9.8) приобретают вид

(9.9)

(9.10)

(9.11)

В §7 была указана связь между числовыми характеристиками случайной величины и параметрами закона распределения. Исходя из этого и учитывая, что оценки параметров законов распределения. Например, для равномерного закона распределения, с учетом формул (7.23) имеем

(9.12)

Решая систему уравнений относительно и находим их оценки и

Для пуассоновского распределения, учитывая (7.20), имеем

(9.13)

Для показательного закона распределения имеем оценку параметра

(9.14)

для нормального закона

(9.15)