Выравнивание статистических рядов

Задача выравнивания статистического ряда заключается в выявлении существенных закономерностей выборки и отбрасывании всех несущественных, случайных. Так как на практике число опытов (наблюдений) всегда ограничено и при этом неизбежны ошибки измерения, то статистическому ряду, конечно же, в большей или меньшей мере свойственны колебания случайного характера.

В предыдущем пункте был рассмотрен вопрос о выборе теоретической кривой распределения (закона распределения), которая бы, в некотором смысле, наилучшим образом описывала исследуемое статистическое распределение.

Здесь будет рассмотрена техническая сторона этой задачи, когда уже заранее, из соображений, связанных с существом задачи, а также с внешним видом гистограммы, сделан выбор выравнивающей кривой.

Пусть сделано предположение о нормальном законе распределения, функция плотности которого имеет вид (см.(7.24))

(9.16)

Чаще всего параметры и неизвестны, но можно найти из оценки, исходя из рассуждений пункта 3 и формул (9.15); тогда функция плотности имеет вид

(9.17)

Остается найти значения этой функции либо на границе разрядов, либо в середине их (чаще берут значения в середине разряда).

При ручном счете для нахождения значений функции (9.17) обычно пользуются таблицей функции плотности нормированной нормальной случайной величины (см. табл.1 Приложения).

Функция (9.16) и функция связаны между собой соотношением

(9.18)

Нормируем исследуемую случайную величину X:

(9.19)

где Т – нормированная нормальная случайная величина.

Тогда для каждого i-го разряда находят с учетом формулы (9.15) значения аргумента

(9.20)

где – середина i-го разряда, а по формуле (9.18), принимая вычисляют значения

Для показательного закона процесс вычисления значений несколько проще, так проще сам вид функции. Значения получают, заменяя значение его оценкой (см.формулу (9.14)) и, как обычно, беря в качестве значений x либо среднее значение случайной величины в i-м разряде, либо границы разрядов; значения функции можно найти в табл.4 Приложения.

Совсем просто найти функцию плотности равномерного закона (см.формулу (7.22), вычислив оценки параметров (см.(9.12)).

После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, их наносят прямо на гистограмму, получая тем самым выравнивающую гистограмму кривую функции плотности.

Если исследуемая случайная величина дискретна, то, как было сказано выше, построение гистограммы бессмысленно. В этом случае строят многоугольник распределения относительных частот и многоугольник распределения вероятностей.

Многоугольник относительных частот строят на основе выборки, пользуясь таблицей вида табл.1, по оси абсцисс откладывают выборочные значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие им относительные частоты, вычисленные по формуле (9.4). В этой же системе координат строят многоугольник распределения вероятностей, предварительно вычислив вероятности принятия случайной величиной соответствующих значений согласно закону распределения.

Так, в случае гипотезы о распределения Пуассона, используют формулу

(9.21)

При неизвестном значении параметра а используют его оценку (см.формулу (9.13)).