Критерии согласия

Как бы хорошо ни было выравнено статистическое распределение с помощью теоретической кривой распределения, расхождения между ними всегда будут, они обусловлены объективными причинами.

Тогда возникает вопрос, насколько существенны эти расхождения, вызваны они случайными причинами в связи с ограниченным числом наблюдений или дело в том, что гипотеза о законе распределения выбрана неверно.

Для ответа на вопрос о согласованности статистического и теоретического распределений служат так называемые критерии согласия.

Итак, считаем, что гипотетическое распределение уже задано заранее, например, с помощью функции распределения и надо проверить статистическую гипотезу о том, что наша выборка получена из совокупности с этим распределением.

Начнем с предположения, что подлежащая проверке гипотеза верна. Тогда функция распределения выборки должна служить приближением к данной функции распределения когда Определим некоторую неотрицательную меру расхождения между и Эту меру можно определить по разному, но каждая мера отклонения D будет некоторой функцией выборочных значений и поэтому будет иметь определенное выборочное распределение. С помощью этого выборочного распределения можно вычислить вероятность того, что отклонение D превышает некоторое данное число Эту вероятность можно сделать как угодно малой, если выбрать достаточно большое Выберем так, чтобы где – так мало, что практически можно считать событие невозможным при единичном опыте. Пусть по выборке можно вычислить величину D. Если окажется, что то это означает, что событие, невозможное при единичном опыте, произошло, следовательно, наша гипотеза проверена опытом.

С другой стороны, если то можно признать гипотезу разумной интерпретацией выборочных данных, т.е. не противоречащей им.

Таким образом, если гипотеза верна, то выборочные значения образуют статистический аналог для гипотетического распределения, и в соответствии с этим можно ввести подходящую меру D отклонения выборки от этого распределения. Зная выборочное распределение величины D, можно найти такое число чтобы где мало. Если выяснится, что то, следовательно, отклонение D вызвано случайными колебаниями и выборочные данные согласуются с гипотезой.

Критерии такого рода, когда выясняется согласие между распределением выборки и теоретическим распределением, называют критериями согласия. Вероятность которую выбирают в зависимости от ситуации, называют уровнем значимости, а вероятность – доверительной вероятностью.

Примечание.

Если произошло событие то, как было сказано выше, считаем, что гипотеза опровергнута опытом. Однако такое опровержение никак не равноценно логическому опровержению. Даже если гипотеза верна, событие имеющее малую вероятность может произойти в отдельном исключительном случае. Но так как достаточно мало, то практически это событие можно считать невозможным. С другой стороны, получение одного события не является еще доказательством правильности гипотезы. Этот факт говорит лишь о том, что с точки зрения одного критерия, который был использован, совпадение между теорией и опытными данными удовлетворительно. Говоря другими словами, чтобы считать статистическую гипотезу обоснованной, надо проверить ее с помощью нескольких критериев.

Существует несколько критериев для проверки гипотез о законе распределения. Одним из самых распространенных является критерий (хи-квадрат), предложенный К.Пирсоном, поэтому его ещё называют критерием Пирсона. Пирсон показал, что распределение величины где n – число опытов, и – относительная частота и вероятность попадания возможных значений случайной величины в i-й разряд статистического ряда, k – число разрядов, практически не зависит от числа опытов n и приближается к так называемому распределению при Распределение зависит от параметра r, который называют числом степеней свободы,

(9.22)

где q – число независимых условий («связей»), наложенных на относительные частоты Так, мы всегда требуем, чтобы

Кроме этой связи, которая присутствует всегда, могут быть и другие. Например, если мы по выборке находим оценку математического ожидания и требуем, чтобы то это будет ещё одна связь. Таким образом, число связей q равно числу параметров, оцениваемых по выборке, плюс одна связь, которая есть всегда:Для практических целей величину преобразовывают к виду

(9.23)

Метод проверки гипотезы с помощью критерия можно сформулировать следующим образом:

1. Определить меру расхождения между теоретическим и выборочным распределениями по формуле

2. Определить

3. Выбрать соответствующий уровень значимости и по таблице распределения по этому уровню значимости и числу степеней свободы r найти предел причем приближению будет выполняться соотношение

(9.24)

Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством (рис.4). Это означает, что если – наблюденное значение – оказалось больше табличного то произошло событие, вероятность которого равна следовательно, произошло событие практически невозможное и гипотезу надо опровергнуть. Если же то с вероятностью гипотеза принимается.

Рис.4. Кривая распределения

На практике значения доверительной вероятности берут от 0,7 до 0,99. Следует отметить, что критерий чувствителен к числу наблюдений, попавших в каждый разряд. Требуется, чтобы в каждом разряде число наблюдений было не меньше 5. Разряды, для которых это требование не выполняется, объединяют с соседними. Число степеней свободы при этом уменьшается (см.формулу (9.22)) в соответствии с уменьшением числа разрядов.

Для вычисления вероятностей входящих в (9.23), используют формулу (см. предварительно (7.5))

(9.25)

при проверке гипотезы о законе распределения непрерывной случайной величины, кроме гипотезы о нормальном распределении.

В случае гипотезы о нормальном распределении следует использовать формулу (см. предварительно (7.26))

(9.26)

Кроме того, во всех вышеуказанных ситуациях вполне допустимо использование приближенной формулы

(9.27)

где длина i-го разряда.

В случае гипотезы о распределении Пуассона используют для вычисления вероятностей формулу (9.21) или таблицу 5 Приложения. Если в таблице отсутствует соответствующее значение параметра а, то расчет можно произвести по рекуррентной формуле с начальным членом