Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.

Определение 1. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С=(с_ij) размера m×n над полем P, где с_ij= a_ij , j=, i=, и обозначается С=А.

Определение 2. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, B=(b_ij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(с_ij) размера m×k над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы B, т.е. с_ij=A_iB^j=(a_i1 ... a_in)⋅=a_i1b_1j+^…+a_inb_nj=, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.

Лемма 1. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение (АВ)С, то существует и произведение А(ВС), причем (АВ)С=А(ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А(ВС).

Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(x_ij), А(ВС)=(y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A=(a_ip), B=(b_ps), С=(с_sj), АВ=R=(r_is), BC=T=(t_pj), s=, p=. Тогда

x_ij=R_iC^j====,

y_ij=A_iT^j====.

Таким образом, x_ij=y_ij , i=, j=. Следовательно, (AB)C=A(BC). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда (А+В)С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В)С=(x_ij), АС+ВС=(y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A=(a_is), B=(b_is), С=(с_sj), i=, s=, j=. Тогда

x_ij=(A+B)_iС^j====A_iC^j+B_iC^j=y_ij.

Следовательно, (А+В)С=АС+ВС. Лемма доказана.

Определение 3. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i=. Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается ^tA.

Пример 1. Если A =, то ^tА =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то ^tА - матрица размера n×m.

Лемма 3. Если произведение AB существует, то существует произведение ^tB ^tA, причем ^t(AB)= ^tB ^tA.

Лемма 4. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕ_n=E_nA=A.

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Через M_n(P) обозначается множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P.

Замечание. Из свойств операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно (см. примеры на практических занятиях).

Лемма 5. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB=(A)B=A(B).

4. Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков.

Определение 1. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I=(i₁i₂…i_n), где i₁,i₂,..,i_n – попарно различные элементы из М.

Пример 1. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I₁=(132), I₂=(231), I₃=(123) и т.д.

Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 2. В перестановке I₂=(231) две инверсии: 31 и 21.

Через s(I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.

Определение 3. Перестановка I называется чётной, если s(I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 2 перестановка I – чётная.

Через S_n обозначается множество всех перестановок n-ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=1×2×3×…×n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.

Определение 4.Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.

Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.

 

Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a₁₁a₂₂…a_nn. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку и j₁-й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида: ….

Так как j₁,j₂,…,j_n – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I=(j₁j₂…j_n).

Рассмотрим выражение вида: (-1)^{s (I)} (1), где I=(j₁j₂…j_n).

Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.

Определение 5. Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поля Р, равный .

Используются следующие обозначения: =, =|A|, =|a_ij|, i=, j=,

=det A.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.

Так как I₁ = (12) и = 0, то получим Δ = = .

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = = .

I₁ = (123) = 0 ; I₂ = (213) = 1 ;

I₃ = (312) = 2 ; I₄ = (321) = 3 ;

I₅ = (132) = 1 ;

I₆ = (231) = 2 .

Следовательно,

Δ== .

Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +.