рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.

Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности. - раздел Математика, Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства Определение. Пусть V1 И V2 — Векторные...

Определение. Пусть V1 и V2 — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V1 изоморфно V2 (обозначается V1 @ V2), если существует взаимно-однозначное отображение j пространства V1 на V2 такое, что выполняются следующие условия:

1) j(+) = j() + j() для любых и из V1;

2) j(a ) = aj( ) и для любых Î V1 и aÎР.

Теорема. Пусть V — векторное пространство над полем P и dimPV=n. Тогда V@Pn, гдеPn — арифметическое n-мерное векторное пространство.

Доказательство. Пусть , , …, — базис векторного пространства V над полем P. Тогда для любых и из V существует единственное разложение по базису:

=a1+ a2+ … + an= и = b1+ b2+ … + bn= .

Зададим соответствие j по правилу j() = (a1, a2, … , an)для любого =Î V, т.е. каждому вектору из V поставим в соответствие кортеж его координат. В силу единственности разложения вектора по базису, j является отображением V в Pn. Покажем, что j — биекция. Действительно, для любого (g1, g2, … , gn) Î Pn, существует =g1+ g2+ … + gnÎ V, такой что j()= (g1, g2, … , gn). Следовательно, j — сюръекция.

Проверим инъективность j. Пусть j()=j(). Тогда по определению j, имеем

(a1, a2, … , an) = (b1, b2, … , bn). Это равенство возможно только в случае ai=bi, для всех i=. Но тогда =, что означает =. Следовательно, j — инъективно. Таким образом, отображение j биективно.

Проверим выполнимость условий 1) и 2) определения изоморфизма векторных пространств.

j(+) = j(+ ) = (коммутативность «+» на V, обобщенный дистрибутивный закон)= j() = (a1+b1, a2+b2, … , an+bn) = (a1, a2, … , ar) + (b1, b2, … , bn) =j(+) для любых и из V, т.е. условие 1) выполняется.

Для любого aиз Р и любого Î Vj(a) = j(a) = (обобщенный дистрибутивный закон, обобщенная ассоциативность) = j() =(aa1, aa2, … , aan)= a(a1, a2, … , an) = aj(), т.е. выполняется условие 2) определения. Значит, j является изоморфизмом векторного пространства V на арифметическое n-мерное векторное пространство Pn, т.е.V@Pn. Теорема доказана.

Следствие. Любые два n-мерных векторных пространства над полем P изоморфны.

Доказательство. Пусть V1 и V2 — n-мерные векторные пространства над полем P. Тогда по теореме V1@Pn и V2@Pn. Т.к. отношение изоморфизма векторных пространств является отношением эквивалентности, то оно симметрично и транзитивно. Из V2@Pn следует Pn @ V2. Из V1@Pn и Pn @ V2 получаем V1@V2. Следствие доказано.

 


 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства

Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.
Определение 1. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P,

Разложение определителя по ряду. Минор и алгебраическое дополнение к элементу определителя. Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = =

Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования СЛУ. Элементарные преобразования матрицы.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 1. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Е

Формулы Крамера.
Теорема 1. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестн

Простейшие свойства векторного пространства
Пусть V — векторное пространство над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства. Свойство 1. Для любого

Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов.
Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P и ,

Свойства линейно зависимой системы векторов.
Рассмотрим некоторые свойства линейно зависимой системы векторов. Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.
Пусть дана система векторов (1) ,

Пространство всех решений однородной системы уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множеств

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений с решениями ассоциированной с ней однородной системы линейных уравнений.
Лемма 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2)

Линейная оболочка системы векторов. Размерность подпространства. Размерность суммы двух подпространств.
Определение 1. Пусть V - векторное пространство над полем Р, —.система в

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат.
Пусть Vn - n-мерное векторное пространство над полем P, (1) – базис Vn

Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Определение 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р,

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги