Реферат Курсовая Конспект
Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности. - раздел Математика, Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства Определение. Пусть V1 И V2 — Векторные...
|
Определение. Пусть V1 и V2 — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V1 изоморфно V2 (обозначается V1 @ V2), если существует взаимно-однозначное отображение j пространства V1 на V2 такое, что выполняются следующие условия:
1) j(+) = j() + j() для любых и из V1;
2) j(a ) = aj( ) и для любых Î V1 и aÎР.
Теорема. Пусть V — векторное пространство над полем P и dimPV=n. Тогда V@Pn, гдеPn — арифметическое n-мерное векторное пространство.
Доказательство. Пусть , , …, — базис векторного пространства V над полем P. Тогда для любых и из V существует единственное разложение по базису:
=a1+ a2+ … + an= и = b1+ b2+ … + bn= .
Зададим соответствие j по правилу j() = (a1, a2, … , an)для любого =Î V, т.е. каждому вектору из V поставим в соответствие кортеж его координат. В силу единственности разложения вектора по базису, j является отображением V в Pn. Покажем, что j — биекция. Действительно, для любого (g1, g2, … , gn) Î Pn, существует =g1+ g2+ … + gnÎ V, такой что j()= (g1, g2, … , gn). Следовательно, j — сюръекция.
Проверим инъективность j. Пусть j()=j(). Тогда по определению j, имеем
(a1, a2, … , an) = (b1, b2, … , bn). Это равенство возможно только в случае ai=bi, для всех i=. Но тогда =, что означает =. Следовательно, j — инъективно. Таким образом, отображение j биективно.
Проверим выполнимость условий 1) и 2) определения изоморфизма векторных пространств.
j(+) = j(+ ) = (коммутативность «+» на V, обобщенный дистрибутивный закон)= j() = (a1+b1, a2+b2, … , an+bn) = (a1, a2, … , ar) + (b1, b2, … , bn) =j(+) для любых и из V, т.е. условие 1) выполняется.
Для любого aиз Р и любого Î Vj(a) = j(a) = (обобщенный дистрибутивный закон, обобщенная ассоциативность) = j() =(aa1, aa2, … , aan)= a(a1, a2, … , an) = aj(), т.е. выполняется условие 2) определения. Значит, j является изоморфизмом векторного пространства V на арифметическое n-мерное векторное пространство Pn, т.е.V@Pn. Теорема доказана.
Следствие. Любые два n-мерных векторных пространства над полем P изоморфны.
Доказательство. Пусть V1 и V2 — n-мерные векторные пространства над полем P. Тогда по теореме V1@Pn и V2@Pn. Т.к. отношение изоморфизма векторных пространств является отношением эквивалентности, то оно симметрично и транзитивно. Из V2@Pn следует Pn @ V2. Из V1@Pn и Pn @ V2 получаем V1@V2. Следствие доказано.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов