Реферат Курсовая Конспект
Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения. - раздел Математика, Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства Определение 1. Пусть V И V1 – В...
|
Определение 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Множество называется ядром линейного отображения j, т.е. ядром линейного отображения j называется множество всех векторов из V, отображающихся при j в нулевой вектор .
Определение 2. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Множество называется образом линейного отображения j.
Теорема 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Множество является подпространством векторного пространства V;
2) Множество является подпространством векторного пространства V1.
Доказательство. 1) Применим к множеству критерий подпространства. Отметим, что так как и , то , и значит, ∅. Кроме того, из определения 2 следует, что .
а) Покажем, что . Действительно, так как , то .
б) Покажем, что . Действительно, поскольку , то .
Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V.
2) Применим к множеству критерий подпространства. Так как и , то , и поэтому, ∅. Так как , то из определения 3 следует, что .
а) Пусть . Покажем, что . Так как , то по определению 3 существуют такие векторы , что , . Тогда .
б) Покажем, что . Действительно, .
Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V1. Теорема доказана.
Определение 3. Пусть V и V1 – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Дефектом линейного отображения j называется размерность векторного пространства Kerj, и обозначается d, т.е. d=dimpKerj. Рангом линейного отображения называется размерность векторного пространства , и обозначается r, т.е. r=dimР.
Теорема 2. Пусть V и V1 – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1, r и d – ранг и дефект линейного отображения j соответственно. Тогда n= r+d.
25. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Связь между координатными столбцами и
Определение 1. Линейное отображение называется линейным оператором или эндоморфизмом векторного пространства V.
Теорема 1. Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем P, - линейный оператор V. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) – взаимно-однозначное отображение;
2) Оператор всякий базис пространства V переводит в базис этого пространства;
3) Оператор всякую линейно независимую систему векторов из V переводит в линейно независимую систему векторов;
4) Ранг линейного оператора равен n;
5) ;
Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, . Тогда можно разложить по базису (1), т.е. =, где . Введём в рассмотрение две матрицы:
() – матрица размера , - матрица размера .
Матрица обозначается и называется координатным вектором-столбцом вектора в базисе (1), т.е. =. Тогда (1,…,n)·=(1,…,n)·=. Таким образом, (2).
Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, j – линейный оператор Vn. Тогда по теореме 3 линейный оператор однозначно определяется заданием векторов . Так как j: Vn Vn, то . Поскольку (1) – базис Vn, то вектор можно разложить по базису (1), i=:
(3) , т.е. = , i=.
Определение 2. Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, j – линейный оператор Vn. Матрицей линейного оператора в базисе (1) называется матрица n-го порядка над полем Р, i-ым столбцом которой является координатный вектор-столбец вектора в базисе (1), i=, и обозначается Аφ, т.е.
Аφ =.
Из определения 2 следует, что система (3) может быть записана в матричной форме: =(3′).
Действительно,
=== .
Заметим, что между множеством Mn(P) всех матриц n-го порядка над полем Р и множеством всех линейных операторов n-мерного векторного пространства Vn над полем Р существует взаимно однозначное соответствие.
Теорема 2. Пусть - n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, – линейный оператор Vn, , А – матрица линейного оператора в базисе (1). Тогда = (4).
Доказательство. Так как Vn и (1) – базис Vn, то
С другой стороны, так как , то по (2) . Следовательно,
= . Поскольку коэффициенты в базисе (1) определяются однозначно, то последнее равенство означает, что = . Теорема доказана.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов