Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов.

Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P и , , …, (1) – система векторов из V. Любая часть системы векторов (1) называется подсистемой системы векторов (1).

Определение 2. Вектор ÎV называется линейной комбинацией системы векторов (1), если существуют скаляры a₁, a₂,..., a_к Î P такие, что = a₁+ a₂+ … + a_k.

Определение 3. Система векторов называется линейно зависимой, если по крайней мере один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных векторов системы. Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Теорема.Система векторов (1) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют скаляры a₁, a₂,..., a_к Î P, не равные нулю одновременно, такие, что

a₁+ a₂+ … + a_k= (2)

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (1) линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы (1) является линейной комбинацией остальных векторов системы. Пусть, например, является линейной комбинацией остальных векторов, то есть существуют скаляры a₂,..., a_к Î P такие, что = a₂+ a₃+ … + a_k (3). Перенося в равенстве (3) все векторы в левую часть, получим - a₂- a₃- … - a_k=. Таким образом, выполняется равенство (2), в котором a₁= 1 ¹ 0.

Достаточность. Пусть выполняется равенство (2) в котором скаляры a₁, a₂,..., a_к Î P одновременно не равны нулю. Пусть a₁ ¹ 0. Тогда из равенства (2) получим a₁= - a₂- a₃- … - a_k. Следовательно, умножая обе части последнего равенства на (a₁)^-1Î Р, получим

= -- - … - . Так как , , … , Î Р, то является линейной комбинацией остальных векторов системы (1). Поэтому система векторов (1) линейно зависима по определению. Теорема доказана.

Следствие. Система векторов (1) является линейно независимой, если из равенства (2) следует a₁=a₂=...=a_к=0.

Замечание. Неверно, что любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Пусть, например, — произвольный ненулевой вектор. Система {, } линейно зависима, так как 0×+ 1×= , но очевидно, что вектор линейно не выражается через ноль-вектор.