рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойства линейно зависимой системы векторов. - раздел Математика, Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства Рассмотрим Некоторые Свойства Линейно Зависимой Системы Векторов. ...

Рассмотрим некоторые свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть , , …, - линейно зависимая подсистема системы векторов

, , …, (1). Тогда по определению существуют скаляры a1, a2,..., alÎР, не равные нулю одновременно, такие, что a1+ a2+ … + al=. Рассмотрим линейную комбинацию

a1+ a2+ … + al+ 0+…+0=(2). Так как не все скаляры ai в равенстве (2) равны 0, то равенство (2) означает, что система векторов (1) линейно зависима. Свойство доказано.

Следствие 1. Система векторов, содержащая нуль-вектор, является линейно зависимой.

Доказательство. Покажем, что система векторов, состоящая из одного нуль-вектора является линейно зависимой. В самом деле, 1×= и 1 Î Р, 1 ¹ 0. Значит, по свойству 1, система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, состоящую из нуль-вектора, сама линейно зависима.

Следствие 2. Если система векторов линейно независима, то каждая ее подсистема линейно независима.

Доказательство. Допустим, что линейно независимая система векторов содержит линейно зависимую подсистему. По свойству 1, система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама является линейно зависимой. Противоречие. Таким образом, каждая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

Свойство 2. Пусть система векторов , , …, (1) линейно независима. Вектор является линейной комбинацией векторов системы (1) тогда и только тогда, когда система векторов

, , , …, (3) линейно зависима.

Доказательство. Необходимость. Пусть вектор линейно выражается через систему векторов (1). Тогда по определению система векторов (3) является линейно зависимой.

Достаточность. Пусть система векторов (3) является линейно зависимой. Тогда существуют скаляры a1, a2,..., ak, b ÎР, не равные нулю одновременно, такие, что

(4) a1+ a2+ … + ak+ b=.

Если b=0, то из равенства (4) следует линейная зависимость системы векторов (1), что противоречит условию. Значит, b¹0. Тогда существует (b)-1 Î Р и

= --- … - . Так как , , … , Î Р, то является линейной комбинацией остальных векторов системы (3). Поэтому система векторов (3) линейно зависима по определению. Свойство доказано.

Свойство 3 (основная лемма о линейной зависимости). Пусть даны системы векторов (1) , , …, и (2) , ,…, из векторного пространства V. Если и каждый вектор системы (2) является линейной комбинацией системы векторов (1), то система векторов (2) линейно зависима.

Следствие 1. Пусть даны системы векторов (1) , , …, и (6) , ,…, из векторного пространства V. Если l >k и каждый вектор системы векторов (6) является линейной комбинацией системы векторов (1), то система векторов (6) является линейно зависимой. Другими словами, если большая система векторов является линейной комбинацией меньшей, то большая система векторов линейно зависима.

Следствие 2. Пусть даны системы векторов (1) и (6) из векторного пространства V. Если каждый вектор системы векторов (6) является линейной комбинацией системы векторов (1), и система векторов (6) является линейно независимой, то l £ k.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства

Определение Матрицей размера m times n над полем Р называется прямоугольная таблица состоящая из n строк и m столбцов следующего вида... где aij P i j... Определение Квадратной матрицей n го порядка над полем P называется матрица размера n times n над полем P...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства линейно зависимой системы векторов.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.
Определение 1. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P,

Разложение определителя по ряду. Минор и алгебраическое дополнение к элементу определителя. Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = =

Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования СЛУ. Элементарные преобразования матрицы.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 1. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Е

Формулы Крамера.
Теорема 1. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестн

Простейшие свойства векторного пространства
Пусть V — векторное пространство над полем Р. Тогда справедливы следующие свойства. Свойство 1. Для любого

Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов.
Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P и ,

Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.
Пусть дана система векторов (1) ,

Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.
Определение. Пусть V1 и V2 — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V1 изоморфно V2 (обозначается V

Пространство всех решений однородной системы уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множеств

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений с решениями ассоциированной с ней однородной системы линейных уравнений.
Лемма 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2)

Линейная оболочка системы векторов. Размерность подпространства. Размерность суммы двух подпространств.
Определение 1. Пусть V - векторное пространство над полем Р, —.система в

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат.
Пусть Vn - n-мерное векторное пространство над полем P, (1) – базис Vn

Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Определение 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р,

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги