Задачи курса 3. Продемонстрировать эффективность применения изучаемых математических методов в туристической индустрии

Государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ Ю.А.СЕНКЕВИЧА»

 

 

Математика Методические указания и контрольные заданиядля студентов заочной формы обученияпо специальностям 100400.62 «Туризм»,080200.62 «Менеджмент», 101100.62 «Гостиничное дело»(ускоренная программа обучения) Москва, 2013 г. Методические указания и контрольные заданиясоставлены в соответствии с учебной программой по дисциплине «Математика»по специальностям 100400.62 «Туризм»,080200.62 «Менеджмент», 101100.62 «Гостиничное дело»(ускоренная программа обучения) Профессор, д.ф.-м.н. Дружинина О.В. 26.08.2013 ………….

 

 

Введение Дисциплина «Математика» играет важную роль в процессе формирования фундаментальных и прикладных знаний специалистов на предприятиях туризма и гостиничного хозяйства. Такие разделы дисциплины, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория вероятностей и математическая статистика, линейное программирование, служат выработке умения самостоятельно решать прикладные задачи и являются составной частью совершенствования единого процесса изучения всех учебных дисциплин по специальностям 1004000.62 «Туризм», 080200.62 «Менеджмент», 101100.62 «Гостиничное дело».

Цель дисциплины «Математика» состоит в получении студентами фундаментальных математических знаний и практических навыков по использованию средств математического анализа, теории вероятности и математической статистики для построения математических моделей в туризме, гостиничном деле и менеджменте.

Задачи курса

1. Дать студентам сведения о современных математических методах, использующихся в математическом моделировании экономических процессов.

2. Ознакомить студентов с понятиями и основными фактами аналитической геометрии, математического анализа, линейной алгебры, линейного программирования, теории вероятностей и математической статистики.

3. Продемонстрировать эффективность применения изучаемых математических методов в туристической индустрии.

4. привить навыки самостоятельного изучения литературы по данной дисциплине и ее приложениям.

 

Отсюда вытекает необходимость изучения: элементов линейной алгебры, элементов аналитической геометрии, элементов дифференциального и интегрального исчисления, способов отбора и использования статистических данных на основе теории вероятностей.

Изложение и изучение данного курса опирается на базовые знания студентов, полученные ими в предшествующее время в школьном курсе математики. Из этого курса следует выделить свойства степеней и дробей, логарифмические и показательные функции, тригонометрию, геометрию, начала анализа. Студент должен знать основные понятия, свойства, формулы из этих разделов школьной математики и уметь использовать их при решении задач.

Изучение математики направлено на развитие логического и алгоритмического мышления студентов, освоение ими приемов решения математически формализованных задач, выра­ботку умения самостоятельно проводить анализ прикладных задач и расширять в случае необходимости свои математические знания.

Требования к результатам освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: фундаментальные разделы математики, необходимые для логического осмысления и обработки информации в профессиональной деятельности;

уметь: применять математические методы при решении практических задач в тури­стской деятельности;

владеть: математическими знаниями и методами, математическим аппаратом, необходимым для профессиональной деятельности в индустрии туризма;

 

В процессе изучения курса студенты выполняют одну контрольную работу, содержащую восемь задач, и сдают экзамен по утверждённым в установленном порядке билетам.

Организационно-учебные нормы

  Оформленные задания в рукописном виде на листах формата А4 или в тетради в…  

Тематический план изучения дисциплины, 1 семестр

  Задания для контрольной работы

Каждый студент должен решить 8 задач своего варианта. Номер варианта совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Например, для варианта №6 следует решить задачи №№ 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76; для варианта № 0 следует решить задачи №№ 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

1–10. Даны вершины треугольника АВС.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

1.А (–5; 0), В (7; 9), C (5; –5).

2.A (–7; 2), B (5; 11), С (3; –3).

3. А (–5; –3), В (7; 6), C (5; –8).

4. А (–6; –2), В (6; 7), C (4; –7).

5. А ( –8; –4), В (4; 5), C (2; –9).

6. А (0; –1), В (12; 8), С (10; –6).

7.А (–6; 1), В (6; 10), С (4; –4).

8.А (–2; –4), В (10; 5), С (8; –9).

9. А (–3; 0), В (9; 9), С (7; –5).

10. А (–9; –2), В (3; 7), С (1; –7).

 

11–20. Решить данную систему уравнений с помощью формул Крамера. Сделать проверку полученного решения.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

 

21–30. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

 

31-40. Исследовать функцию y = f(x) и построить ее график. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a, b].

 

31. a = - 1 , b = 3

32. a = - 1 , b = 2

33. a = 2 , b = 3

34. a = - 1 , b = 2

35. a = 0 , b = 4

36. a= - 2 , b= 3

37. a = - 3 , b = 0

38. a = -3 , b = 1

39. a = 1 , b = 4

40. a = - 1 , b = 4

 

41-50. Найти с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры, распо­ложенной в первой четверти и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

 

51–60. В ящике содержится n одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем k из них – красные, l – синие и m – белые. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий, б) белый, в) цветной.

51. n = 8, k = 3, l = 3, m = 2.

52. n = 9, k = 4, l = 1, m = 4.

53. n = 10, k = 3, l = 5, m = 2.

54. n = 11, k = 5, l = 3, m = 3.

55. n = 12, k = 4, l = 6, m = 2.

56. n = 8, k = 1, l = 5, m = 2.

57. n = 9, k = 3, l = 4, m = 2.

58. n = 10, k = 2, l = 7, m = 1.

59. n = 11, k = 2, l = 4, m = 5.

60. n = 12, k = 3, l = 5, m = 4.

 

61–70. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения.

61.

xi
pi	0,2	0,1	0,4	0,3

 

62.

xi
pi	0,5	0,1	0,3	0,1

 

63.

xi
pi	0,1	0,2	0,3	0,4

 

64.

xi
pi	0,6	0,1	0,1	0,2

 

65.

xi
pi	0,3	0,2	0,1	0,4

 

66.

xi
pi	0,1	0,3	0,1	0,5

 

67.

xi
pi	0,1	0,2	0,4	0,3

 

68.

xi
pi	0,2	0,1	0,4	0,3

 

69.

xi
pi	0,6	0,2	0,1	0,1

70.

xi
pi	0,3	0,2	0,4	0,1

 

 

71–80. Известны математическое ожидание a и среднеквадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины X. Написать плотность вероятности и найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (a; b).

71. a = 11, s = 5, a = 5, b = 10.

72. a = 10, s = 4, a = 6, b = 11.

73. a = 9, s = 1, a = 7, b = 12.

74. a = 8, s = 2, a = 4, b = 10.

75. a = 7, s = 3, a = 4, b = 12.

76. a = 6, s = 5, a = 4, b = 8.

77. a = 5, s = 2, a = 2, b = 7.

78. a = 4, s = 3, a = 1, b = 9.

79. a = 3, s = 2, a = 3, b = 8.

80. a = 2, s = 1, a = 1, b = 4.

Примечание: для контрольной работы следует взять тетрадь в клеточку; представлять рукописный вариант; условия задач переписывать; на титульном листе необходимо указать (можно в напечатанном виде) следую­щее: МГИИТ, контрольная работа по математике студента ФИО заочного обучения (ускоренная программа обучения), курс, группа, шифр (по зачётной книжке), номер варианта. Проверил: ФИО преподавателя.

Методические указания к решению задач

 

Примеры решения и оформления заданий приведены в учебно-методических пособиях [8], [9], [10].

Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и линейного программирования.

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ;

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

(1) где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а11, а12,…., а33 и свободные члены 1, 2,… Введем обозначения:

Матричный метод решения системы линейных уравнений.

(1) Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу –… А=; Х=; В=

Дифференциальное и интегральное исчисление

1) Найти область определения функции. 2) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её… 3) Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

Таблица основных интегралов

 

1. 8.

 

 

2. 9.

 

 

3. 10.

 

 

4. 11.

 

 

5. 12.

 

 

6. 13.

 

 

7. 14.

 

 

Каждая из формул этой таблицы справедлива в любом промежутке, содержащемся в области определения соответствующей подынтегральной функции.

Справедливость приведённых формул проверяется дифференцированием.

Задача 6.Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).

 

а) б)

 

в) г)

 

д) е)

 

Решение.

а)

=

б)

 

в)

Нужно использовать формулу интегрирования по частям:

Для этого обозначим тогда

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

г)

 

д)

Использована формула: . е)

Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.

Задача 7.Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью OX ( рис.3 ).

Решение.Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу и прямую и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой и решим полученное квадратное уравнение или Корни этого уравнения Первому квадранту соответствует корень

Найдём абсциссу точки пересечения прямой с осью ОХ Решим уравнение , откуда

Искомая площадь фигуры где площадь фигуры, ограниченной данной параболой , вертикальной прямой и осью ОХ ; площадь фигуры, ограниченной вертикальной прямой данной прямой и осью ОХ . Вычислим искомые площади:

(кв.ед.)

(кв.ед.)

Общая площадь (кв.ед.)

Задача 8.Найти с помощью определённого интеграла объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью ОХ (рис.3).

Решение. Можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси ОХ , а при поверхностью, образованной вращением прямой вокруг оси ОХ .

Таким образом, общий объём тела вращения будет складываться из двух объёмов:

Вычислим эти объёмы по формулам:

(куб.ед.)

Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной.

 

Пусть Тогда или отсюда Определим новые пределы интегрирования, соответствующие переменной : при а при

(куб.ед.)

 

(куб.ед.)

Рис. 3

 

Ответ : площадь плоской фигуры (кв. ед.),

объём тела вращения (куб. ед.)

 

 

Элементы теории вероятностей

Классическое определение вероятности.Если множество всех элементарных исходов конечно и все исходы равновозможны, то вероятность события А… , где – число исходов, благоприятных для А, – общее число всех возможных элементарных исходов.

Случайные величины

Дискретная случайная величина имеет конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретное с.в. Х – это перечень ее возможных… Здесь . Непрерывная с.в. принимает любые значения некоторого (возможно, бесконечного) интервала.