Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а₁₁, а₁₂,…., а₃₃ и свободные члены ₁, ₂, ₃ – известные постоянные (числа)

Введем обозначения:

;

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Определители , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.

Если то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами:

(2)

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Если определитель системы а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , система (1) также может не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Задача 2. Используя формулы Крамера, решить систему:

Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

=.

Имеем

Так как делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Найдём его. Вычислим вспомогательные определители , .

;

;

.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

.

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.