Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает одной возможное числовое значение. Случайные величины (с.в.) обозначаются заглавными латинскими буквами.

Дискретная случайная величина имеет конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретное с.в. Х – это перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей. Закон распределения дискретной с.в. Х записывается в виде ряда распределения:

Значения (х)			…		…	(1)
Вероятности (р)			…		…

Здесь .

Непрерывная с.в. принимает любые значения некоторого (возможно, бесконечного) интервала.

Функция распределения с.в. Х – это функция, определенная равенством:

.

Свойства функции распределения:

1)

2) – неубывающая функция;

3) ;

4) если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то

при

при

5) .

Числовые характеристики случайной величины.Математическое ожидание дискретной с.в. определяется формулой:

где – знак суммирования.

Математическое ожидание обозначается также буквой , возможно с ин­дексом, например .

Перечислим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание константы равно этой константе: МС=С.
2. Если С – константа, то М(СХ)=СМХ.
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий.
4. Если с.в. , независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий.

Дисперсия дискретной с.в. Х, имеющей закон распределения (1) и математическое ожидание , определяется формулой:

.

Дисперсия обозначается также , возможно, с индексом. Можно также доказать, что

Последняя формула иногда бывает удобней для вычислений.

Перечислим свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Если С – константа, то .

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется величина .

 

Задача 15. Дано распределение дискретной случайной величины Х:

 

xi
pi	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

 

Найти функцию распределения .

 

Решение

Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

 

График полученной функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

 

Задача 16. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распреде­ления:

xi	-2
pi	0,5	0,1	0,2	0,2

Решение

Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

.

Далее вычислим дисперсию дискретной случайной величины Х:

,

а также среднее квадратическое отклонение:

.

Ответ: MX = –0,4; DX = 2,84; σX = 1,65.

 

Нормальное распределение. Еслиплотность распределения непрерывной случайно­сти величины X равна

,

то говорят, что с.в. X имеет нормальное распределение; . Если X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ и средним квадратическим отклонением , то вероятности, связанные с X, вычисляются по формулам

,

,

,

где Ф(x) – функция Лапласа; значения функции Лапласа приведены в таблице Приложения 1.

 

Задача 17. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Написать плотность распределения вероятностей и найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (12; 14).

Решение

В нашем случае а = 10, σ = 2, так как случайная величина распределена по нормальному закону, то ее плотность находим следующим образом:

.

 

Вероятность того, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х примет значение из интервала (12;14), находится следующим образом:

.

Ответ: .

 

Приложение 1

Таблица значений функции

	Сотые доли
х
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4	0,0000
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
3,5 3,6 3,7

 

 

Критерии для оценки контрольной работы:

1. Наличие разумных пояснений к выполняемым пунктам задания

2. Указание используемых формул

3. Соблюдение рекомендованного алгоритма решения задания

4. Точность вычислений

5. Решение всех указанных задач.

 

 

Перечень вопросов для подготовки к экзамену Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Декартовы координаты на плоскости. Координаты двух точек, симмет­ричных относительно а) оси Ox, б) оси Oy, в) начала координат

2. Расстояние между двумя точками

3. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка

4. Определение линии на плоскости

5. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

6. Общее уравнение прямой

7. Угол между прямыми

8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

9. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направ­лении

10. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

11. Уравнение окружности

12. Определители второго порядка

13. Определители третьего порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения

14. Методы вычисления определителей третьего порядка

15. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

16. Матрицы. Основные определения. Сложение и умножение матриц

17. Обратная матрица и ее вычисление

18. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

19. Векторы. Действия над ними. Скалярное произведение векторов.

20. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

21. Общее уравнение плоскости и его исследование.

22. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

23. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

24. Расстояние от точки до плоскости.

25. Прямая линия в пространстве. Канонические уравнения прямой.

 

Часть 2. Математический анализ. Элементы теории вероятностей.

1. Основные элементарные функции их свойства и графики.

2. Определение производной функции в точке. Таблица производных.

3. Правила дифференцирования.

4. Производная сложной функции.

5. Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

7. Первообразная. Неопределенный интеграл.

8. Свойства неопределённого интеграла.

9. Таблица неопределённых интегралов.

10. Определение и свойства определенного интеграла.

11. Геометрический смысл определенного интеграла.

12. Формула Ньютона–Лейбница.

13. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

14. Ряды. Необходимый признак сходимости числовых рядов.

15. Дифференциальные уравнения первого порядка.

16. Классическое и статистическое определения вероятности события.

17. Теоремы сложения вероятностей.

18. Теоремы умножения вероятностей.

19. Формула Бернулли.

20. Дискретные случайные величины. Закон распределения.

21. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

22. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.

23. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.

24. Полигон частот. Гистограмма частот.

25. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

 

Формат и содержание экзамена, критерии оценки. Экзамен проводится в установленное расписанием время по утвержденным билетам. Билет содержит два теоретических вопроса и одно практическое задание. Практическое задание оформляется в письменном виде со всеми необходимыми комментариями по алгоритму решения. На теоретические вопросы студент отвечает устно. Для получения оценки «Отлично» необходимо правильно решить практическое задание, знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Хорошо» необходимо знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Удовлетворительно» необходимо уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы. Перечень рекомендуемой литературы

Основная литература:

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике (в двух частях) – М.: Финансы и статистика, 2005.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2006.

3. Краснов М.А. и др. Вся высшая математика (в шести томах). – М.: Эдиториал УРСС, 2000.

4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2002.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2006.

 

Дополнительная литература:

6. Кремер Н.Ш. и др. Практикум по высшей математике для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2002.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: Высшая школа, 2006.

8. Коровина Л.А. Математика (Элементы аналитической геометрии, линейной алгебры и линейного программирования): Методическое пособие по изучению курса и выполнению расчетных работ для студентов, обучающихся по специальности «Туризм». М.: МАТГР, 2007.

9. Коровина Л.А. Математика (дифференциальное и интегральное исчисления). Учебно-методическое пособие по изучению курса и выполнению расчётных работ. М.: МГИИТ,

2010.

10. Дружинина О.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов. М.: МГИИТ, 2013.