Статистика

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова»

Кафедра экономической кибернетики

Статистика

  Саратов 2010  

Статистика

Оглавление   Введение   1.Оформление расчётно-графической работы   … Введение Расчетно-графическая работа (РГР) предполагает применение основных приемов статистики для обработки массовой…

Оформление расчётно-графической работы

Расчётно-графическая работа печатается на компьютере шрифтом Times New Roman 14 размера с полуторным междустрочным интервалом, при наборе таблиц… Текст располагается на одной стороне листа бумаги формата А4 (210х297 мм).… В тексте не допускаются сокращения слов, кроме общепринятых. К общепринятым относятся такие сокращения как: то есть –…

Построение и графическое изображение вариационных рядов

Порядок построения вариационных рядов

И их графическое изображение

Таблица 1 Урожайность озимой пшеницы и затраты труда на 1 ц зерна (трудоёмкость) в…   № п/п Урожай-ность, ц/га х Затраты труда на 1 ц зерна, чел.-ч у …

Рассчитаем частоты для интервального ряда. Слева от столбца интервалы на одну строку ниже выделяем пять строк (по количеству групп). Вызовем функцию ЧАСТОТА (FREQUENCY). В первом поле выбираем массив исходных данных, во втором поле массив частот и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате появится пять значений частот. На рисунке 2 видно, что каждому верхнему значению интервала соответствует частота для данного интервала. Накопленные частоты считаются аналогично п. 2.2

Рис. 2. Построение интервального ряда

 

3.Для построения диаграммы необходимо найти середины интервалов. Для этого слева от накопленных частот вводим формулу расчёта середины интервала: (см. рис 2). Копируем формулу для всех пяти групп.
Далее выбираем меню «Вставка» → «Диаграмма». Выбираем вид диаграммы будет гистограмма. Выделяем область частот и середины интервалов, нажимаем «ОК».
Полученную диаграмму нужно редактировать. Щёлкаем правой кнопкой мыши на диаграмме и выбираем «Исходные данные». В появившемся окне выбираем закладку «Ряд». В поле «Значения» выделяем частоты интервального ряда. В поле «Подписи оси Х» выделяем значения середин интервалов. Если в поле «Ряд» два названия ряда, то лишний нужно удалить. Нажимаем «ОК».
Далее щелкаем по гистограмме правой кнопкой мыши, выбираем «Формат рядов данных». В закладке параметры ставим нулевое значение ширины зазора.

Статистические характеристики рядов распределения

Показатели центра распределения

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака и рассчитанный на единицу однородной совокупности. … Средняя арифметическая вычисляется по формулам: простая ; взвешенная ,

Показатели колеблемости признака

Размах вариации- это разность между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака. R = xmax-xmin Среднее линейное отклонение- средняя арифметическая из модулей абсолютных отклонений вариантов от их среднего…

Показатели формы распределения

Зависимость распределения частот от вариации изучаемого признака есть закономерность распределения. Эмпирическое распределение – распределение,… Теоретическая кривая распределения выражает общую закономерность распределения… В статистике широко известны различные виды распределений - нормальное распределение, биноминальное, распределение…

Расчёт статистических характеристик рядов распределения с помощью Excel

 

Большинство параметров ряда распределения вычисляется с помощью функции Описательная статистика.

Откроем лист Excel, скопируем в ячейки А1:А31 данные по урожайности вместе с условным обозначением показателя – х, в ячейки В1:В31 данные по затратам труда на 1 ц зерна.

В менюСервисвыберемАнализ данных,затем Описательная статистикаи нажмём ОК.

3. Введём данные в поле Выходной интервал;в нашем случае возьмём ячейку $С$1.Вниз и вправо от этой ячейки будут выведены рассчитанные параметры. … 4. Поставим флажки в окошках Метки в первой строке, Итоговая статистика,… 5. Нажмём кнопку ОК.

Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой называется специальная функция, вычисляемая на основании выборочных данных для приближенной замены неизвестного параметра… Возможное расхождение между выборочными и генеральными характеристиками…  

Проверка гипотезы о законе нормального распределения

Критерий Пирсона (хи-квадрат) определяется по формуле: ,(1) где (хи-квадрат) – критерий Пирсона; ni – эмпирические частоты; nt – теоретические частоты.

Рис. 3. Хи тест

1. Находим нормализованные значения признака (рис 1.). Вызываем список функций, выбираем функцию «НОРМАЛИЗАЦИЯ» (STANDATRDIZE). В поле «Х» вводим название ячейки первого интервала, во втором поле среднее значение по выборке, в третьем поле стандартное отклонение выборки. Копируем данную формулу для остальных строк.

2. По таблице плотности распределения φ(u) находим вероятность распределения этих значений и заполняем следующий столбец.

3. Следующий столбец заполняем рассчитанным выражением .

4. Находим теоретические частоты по формуле (2) и заполняем последний 8 столбец.

5. Далее, для вычисления критерия Пирсона, воспользуемся функцией «ХИ2ТЕСТ». В поле «Фактический интервал» выделяем массив фактических частот, в поле «Ожидаемый интервал» вводим массив теоретических частот. В результате получаем значимость фактического критерия Пирсона. Чтобы получить фактическое значение критерия Пирсона, воспользуемся функцией «ХИ2ОБР». В поле «вероятность» вводим полученную значимость критерия (ячейка B11), а в поле «степени_свободы» соответствующее число степеней свободы для данной группировки. В данном случае n-1=5 (n – число групп).

Полученную в пункте 5 фактическую значимость критерия Пирсона «p» сравниваем с установленным уровнем значимости «α». Если α_факт<α=0,05, то утверждаем, что эмпирическое распределение сходно с теоретическим и нулевая гипотеза отвергается. Далее, если нужно, мы находим фактическое значение критерия по значимости «α» и числа степеней свободы.

 

4.Корреляционно-регрессионный анализ

4.1.Определение параметров уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи

Социально-экономические явления находятся между собой в сложной взаимосвязи, зависимости. По характеру зависимости статистика различает два вида связей:

1)функциональную;

2)корреляционную.

Корреляционная связь характеризуется тем, что между изменением независимой переменной (факторного признака) и зависимой переменной нет полного соответствия: каждому значению факторного признака может соответствовать распределение значений результативного.

Корреляционная связь проявляется лишь в массе случаев – в совокупности достаточно большого объема. При этом изменение независимой величины ведет к изменению среднего значения зависимой переменной.

По направлению различают прямые и обратные связи. При прямой связи с увеличением факторного признака увеличивается результативный. При обратной связи с ростом факторного признака значения результативного уменьшаются.

По аналитическому выражению связи делятся на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные). Линейная связь выражается линейной функцией (уравнением прямой), нелинейная – криволинейной в виде параболы, гиперболы, показательной кривой и т.д.

Функция, отображающая корреляционную связь между признаками, называется уравнением регрессии. Уравнение регрессии выражается функцией у = f(х1,х2,…, хn).

Уравнения регрессии могут иметь следующую форму.

Уравнение прямой:

 

Уравнение гиперболы:

 

Уравнение параболы второго порядка:

 

Степенное уравнение:

Показательное уравнение

 

Многофакторная корреляционная связь чаще всего описывается линейным уравнением множественной регрессии:

 

 

Параметр α₁ в уравнении прямой называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного на единицу. При прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительный знак, при обратной – отрицательный.

Количественная характеристика корреляционной связи дается с помощью ряда статистических показателей – коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.

Наиболее распространенным и совершенным методом изучения корреляционных связей является корреляционно-регрессионный анализ.

В процессе корреляционно-регрессионного анализа (КРА) решаются следующие задачи:

1) определение формы и направления связи, ее количественное выражение в виде уравнения регрессии;

2) характеристика тесноты связи.

3) определение значимости, существенности выборочных характеристик тесноты корреляционной связи;

Параметры уравнения регрессии находятся способом наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров уравнения, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, минимальна. Он дает систему нормальных уравнений, решая которую определяют параметры уравнения регрессии.

Для уравнения парной линейной регрессии у_х=α₀+α₁х система нормальных уравнений следующая: следующая::

 

Для гиперболы:

Для параболы второго порядка:

Параметры уравнения множественной регрессии при большом числе факторов рассчитываются на ЭВМ.

 

Для характеристики тесноты парной корреляционной связи используются в основном два показателя:

· линейный коэффициент корреляции и соответствующий ему коэффициент детерминации;

· корреляционное отношение и соответствующий ему индекс детерминации.

Для измерения тесноты парной линейной связи вычисляется линейный коэффициент корреляции. Статистика разработала ряд формул линейного коэффициента корреляции:

 

где σ_х- среднее квадратическое отклонение по факторному признаку;

 

σ_у – среднее квадратическое отклонение по результативному признаку.

 

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до плюс единицы. Положительный коэффициент корреляции указывает на прямую корреляционную связь, отрицательный – на обратную. Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии. Принята следующая условная градация коэффициента корреляции: r<0,3 – связь слабая, r=0,3 – 0.7 – связь средней силы, r>0.7 – связь тесная.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю факторного признака в вариации результативного.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь при линейной форме зависимости. Для характеристики тесноты связи любой формы используется корреляционное отношение. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

 

где δ² – факторная дисперсия – дисперсия теоретических значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ² – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Указанные дисперсии исчисляются по формулам:

где у_х – теоретические значения результативного признака;

ỹ - среднее значение результативного признака в совокупности;

у – фактические (эмпирические) значения результативного признака.

При линейной связи корреляционное отношение и коэффициент корреляции равны.

Корреляционное отношение может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе данный показатель к единице, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

Параметры уравнения регрессии и коэффициент корреляции могут быть рассчитаны с помощью табличного процессора Excel. Для этого на лист Excel копируем исходные данные. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака, в поле Входной интервал Х вводим значения факторных признаков. Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляются результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.

 

Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи

Находится средняя ошибка коэффициента корреляции по формуле:     На основе ошибки рассчитывается t-критерий:

Корреляционно-регрессионный анализ в Excel

Проведём корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи урожайности и затрат труда на 1 ц зерна. Для этого открываем лист Excel, в ячейки А1:А30…   ВЫВОД ИТОГОВ       …  

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФГОУ ВПО САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ВАВИЛОВА

 

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Выполнил студент … курса ….. группы _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (ф.и.о.)

Приложение 3

Таблица значений функции Лапласа

 

Z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6										. 4964
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3

Приложение 4

Критические точки распределения Стьюдента

   

Приложение 5

Критические точки распределения

Число степеней свободы	Уровень значимости
0,500	0,250	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005
	0,45	1,32	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
	1,39	2,77	4,61	5,99	7,38	9,21	10,60
	2,37	4,11	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84
	3,36	5,39	7,78	9,95	11,14	13,28	14,86
	4,35	6,63	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75
	5,35	7,84	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55
	6,35	9,04	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28
	7,34	10,22	13,36	15,51	17,53	20,09	21,96
	8,34	11,39	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59
	9,34	12,55	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19
	10,34	13,70	17,28	19,68	21,92	24,72	26,76
	11,34	14,85	18,55	21,03	23,34	26,22	28,30
	12,34	15,98	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82
	13,34	17,12	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32
	14,34	18,25	22,31	25,00	27,49	30,58	32,80
	15,34	19,37	23,54	26,30	28,85	32,00	34,27
	16,34	20,49	24,77	27,59	30,19	33,41	35,72
	17„34	21,60	25,99	28,87	31,53	34,81	37,16
	18,34	22,72	27,20	30,14	32,85	36,19	38,58
	19,34	22,83	28,41	31,41	34,17	37,57	40,00

Приложение 6

Критические точки распределения Фишера‑Снедекора при уровне значимости =0,05

 

‑ степени свободы для меньшей (внутри-групповой) дисперсии	- степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии
	18,51	19,00	19,16	19,75	19,30	19,33	19,36	13,97	19,38
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00
	5,99	5,14	4,76	3,53	4,39	4,78	4,71	4,15	4,10
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,77	3,14	3,07	3,02
	4,75	3,88	3,40	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65
	4,49	3,63	3,74	3,01	7,85	7,74	7,66	7,59	7,54
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,59	2,51	2,46
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,52	2,45	2,40
	4,96	3,40	3,01	7,78	7,67	7,61	7,4?	7,36	7,30
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,41	2,34	2,28
	4,21	3,35	7,96	7,73	7,57	7,46	7,37	7,30	7,75
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,34	2,27	2,21
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04
	3,96	3,11	2,72	2,48	2,33	2,21	2,12	2,05	1,99
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,10	2,03	1,97
	3,89	3,04	2,65	2,41	2,26	2,14	2,05	1,98	1,92

 

Приложение 7

Критические точки распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости =0,01

 

Степени свободы для меньшей (внутригрупповой) дисперсии	Степени свободы для большей (межгрупповой) дисперсии
	98,49	99,00	99,17	99,25	99,30	99,33	99,34	99,36	99,38
	34,12	30,82	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15
	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5„47	5,35
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95
	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39
	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78
	8,28	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,85	3,71	3,60
	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,71	3,56	3,45
	7,82	5,61	4,72	4,22	3,90	3,67	3,50	3,36	3,25
	7,64	5,45	4,57	4,07	3,76	3,53	3,36	3,23	3,11
	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	3,06
	7,31	5,18	4,31	3,83	3,51	3,29	3,12	2,99	2,88
	7,17	5,06	4,20	3,72	3,41	3,18	3,02	2,88	2,78
	7,08	4,98	4,13	3,65	3,34	3,12	2,95	2,82	2,72
	6,96	4,88	4,04	3,56	3,25	3,04	2,87	2,74	2,64
	6,90	4,82	3,98	3,51	3,20	2,99	2,82	2,69	2,59
	6,76	4,71	3,88	3,41	3,11	2,90	2,73	2,60	2,50

 

 

Приложение 8

Критерий А. Н. Колмогорова.

Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функций распределения

 

Приложение 9

Значения функции P(λ)

 

λ	Р	λ	Р
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35		1,20
0,40		1,30
0,45		1,40
0,50		1,50
0,55		1,60
0,60		1,70
0,65		1,80
0,70		1,90
0,75		2,00
0,80		2,10
0,85		2,20
0,90		2,30
0,95		2,40
1,00		2,50

 

 

Приложение 10

Таблица вероятностей Р( χ² )

k χ2
	0,3173	0,6065	0,8013	0,9098	0,9626	0,9856	0,9948	0,9982	0,9994	0,9998
	0,1573	0,3679	0,5724	0,7358	0,8491	0,9197	0,9598	0,9810	0,9915	0,9963
	0,0833	0,2231	0,3916	0,5578	0,7000	0,8088	0,8850	0,9344	0,9643	0,9814
	0,0455	0,1353	0,2615	0,4060	0,5494	0,6767	0,7798	0,8571	0,9114	0,9473
	0,0253	0,0821	0,1718	0,2873	0,4159	0,5438	0,6600	0,7576	0,8343	0,8912
	0,0143	0,0498	0,1116	0,1991	0,3062	0,4232	0,5397	0,6472	0,7399	0,8153
	0,0082	0,0302	0,0719	0,1359	0,2206	0,3208	0,4289	0,5366	0,6371	0,7254
	0,0047	0,0183	0,0460	0,0916	0,1562	0,2381	0,3326	0,4335	0,5341	0,6288
	0,0027	0,0111	0,0293	0,0611	0,1091	0,1736	0,2527	0,3423	0,4373	0,5321
	0,0016	0,0067	0,0186	0,0404	0,0752	0,1247	0,1886	0,2650	0,3505	0,4405
	0,0009	0,0041	0,0117	0,0266	0,0514	0,0884	0,1386	0,2017	0,2757	0,3575
	0,0005	0,0025	0,0074	0,0174	0,0348	0,0620	0,1006	0,1512	0,2133	0,2851
	0,0003	0,0015	0,0046	0,0113	0,0234	0,0430	0,0721	0,1118	0,1626	0,2237
	0,0002	0,0009	0,0029	0,0073	0,0156	0,0296	0,0512	0,0818	0,1223	0,1730
	0,0001	0,0006	0,0018	0,0047	0,0104	0,0203	0,0360	0,0591	0,0909	0,1321
	0,0001	0,0003	0,0011	0,0030	0,0068	0,0138	0,0251	0,0424	0,0669	0,0996
	0,0000	0,0002	0,0007	0,0019	0,0045	0,0093	0,0174	0,0301	0,0487	0,0744
	-	0,0001	0,0004	0,0012	0,0029	0,0062	0,0120	0,0212	0,0352	0,0550
	-	0,0001	0,0003	0,0008	0,0019	0,0042	0,0082	0,0149	0,0252	0,0403
	-	0,0000	0,0002	0,0005	0,0012	0,0028	0,0056	0,0103	0,0179	0,0293
	-	-	0,0001	0,0003	0,0008	0,0018	0,0038	0,0071	0,0127	0,0211
	-	-	0,0001	0,0002	0,0005	0,0012	0,0025	0,0049	0,0089	0,0151
	-	-	0,0000	0,0001	0,0003	0,0008	0,0017	0,0034	0,0062	0,0107
	-	-	-	0,0001	0,0002	0,0005	0,0011	0,0023	0,0043	0,0076
	-	-	-	0,0001	0,0001	0,0003	0,0008	0,0016	0,0030	0,0053
	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0005	0,0011	0,0020	0,0037
	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0001	0,0003	0,0007	0,0014	0,0026
	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0005	0,0010	0,0018
	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0001	0,0003	0,0006	0,0012
	-	-	-	-	-	0,0000	0,0001	0,0002	0,0004	0,0009