ТЕМА 1: НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

ТЕМА 1: «НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ»

План:

1. Теоретична частина

1.1. Загальні правила обрахункової роботи.

1.2. Поняття абсолютної та відносної похибки.

1.3. Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язки рівняння.

1.4. Метод половинного ділення.

1.5. Метод хорд.

1.6. Метод дотичних (метод Ньютона).

1.7. Комбінований метод.

2. Практична частина

3. Індивідуальне завдання 1.

4. Індивідуальне завдання 2.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

Загальні правила обрахункової роботи.

Базовими виступають правила, що стосуються наступних етапів об рахункової роботи: 1. розробка детальної обрахункової схеми, що точно визначає послідовність дій… 2. контроль обчислень. Без перевірки обчислення не може вважатися завершеним. Контроль поділяється на поточний та…

Поняття абсолютної та відносної похибки

Часто знак похибки невідомий або не має значення. Тоді вводиться абсолютна похибка наближеного числа (2) Безпосередньо за значенням абсолютної похибки досить важко робити висновок про… Відносною похибкою наближеного значення величини, точне значення якої дорівнює А, називається відношення його…

Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язки рівняння

Необхідно знайти таке число , що f(α)=0 – α корень рівняння. Нехай рівняння (1) має тільки ізольовані корені, тобто для кожного кореня… Тоді наближене знаходження ізольованих дійсних коренів складається з 2х… 1) Відокремлення кореня, тобто знаходження проміжка [a, b] в якому знаходиться один і тільки один корень рівняння. …

Метод половинного ділення

Якщо f() то беремо ту половину відрізку [a; ] або [] на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і… . Ділимо відрізок поки || < ε тоді α=, корень рівняння f(x)=0.

Метод хорд

Абсциса точки А, є наближеним коренем х1, яка була знайдена з рівняння прямої,…

У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто f’(x) ·f’’(x) < 0,то ітераційна формула має вигляд

Метод хорд має лінійну збіжність – похибка на наступній ітерації пропорційна (лінійно) похибці на попередній ітерації.

 

Метод дотичних (метод Ньютона)

Проведемо дотичну до гра­фіка функції y = f (x) в точці B(b,f (b)) (рис. 4) і знайдемо аб­сцису точки перетину дотичної з віссю Ox. Позначимо її… y - f(b) = f'(b)(x-b). Для знаходження точки перетину цієї прямої з віссю Ox… Отримаємо - f(b) = f'(b)(c1 —b), звідки c1 = b- .

Комбінований метод хорд і дотичних

Суть комбінованого методу полягає в наступному. До одного з кінців відрізка [а,b] застосовуємо метод хорд, а до іншого – метод дотичних, враховуючи…  

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язок рівняння.

Розв’язання. Будуємо графіки функцій і (рисунок 1.1). З графіка видно, що дане рівняння має три корені, причому , , . Оскільки для будь-яких х, а… Рис. 1.1. Побудова графіків до прикладу 1.1

Метод половинного ділення

1. Ввести, задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки e . 2. Обчислити значення функції f (x) в точці а, тобто обчислити f (а). 3. Поділити проміжок [а, b] навпіл, тобто знайти точку xs

Значення e задається в межах 10 –4¸10 –6.

Приклад 3. Методом половинного ділення знайти розв’язок рівняння з точністю 0,05. Розв’язання: Побудуємо графік функції (рисунок 1.4.)

Крок 1.

Крок 2.

Крок 3.

Крок 4

Таким чином, з заданою точністю знайдемо корінь с=5.003.

Метод хорд

Визначаємо знаки функцій в різних точках х 1,5 1,8 1,9 f(x) – – … Зміна знаку проходить на відрізку [1,8; 1,9]. Обчислюємо значення функцій f(1,8) = – 0,248; f(1,9) = 0,339.

Метод дотичних (метод Ньютона)

Блок-схема алгоритму методу Ньютона зображена на рис. 1.5: Рис. 1.5. Блок-схема методу Ньютона

Комбінований метод хорд і дотичних

В заданому проміжку Одержуємо х0 = 1; х0 = 1,1;

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1

2) Відокремити корені аналітично і уточнити один з них методом проб з точністю до 0,01. 3) Відокремити корені графічно. 4) Відокремити корені графічно і уточнити один з них методом проб точністю до 0,01.

Зразок виконання завдання

1. Позначимо f(x) =. Знайдемо похідну . Знайдемо корінь похідної: Складемо таблицю знаків функції f(x), вважаючи х рівним:

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 2

2) Використовуючи метод хорд знайти додатній корінь рівняння. 3) Знайти корінь рівняння використовуючи метод Ньютона. 4) Обчислити з точністю до 0,0005 корінь рівняння, який знаходиться на відрізку [1; 1,1].

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

Постановка задачі

, (8) де х1, x2, xn – невідомі, aij - коефіцієнти при невідомих, bi - вільні члени… Розв’язком системи (8) називається така впорядкована сукуп­ність чисел c1,c2,…,cn, яка, будучи підставленою в (8)…

Формули Крамера

, , систему (8) запишемо у вигляді . Якщо визначник матриці А ¹0, то розв’язок системи знаходять за формулою:… Розв’язок такої системи можна знайти також за правилом Крамера

Метод Гауса

Розглянемо систему лінійних рівнянь (8). Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо вона не має… До елементарних перетворень системи віднесемо наступні: 1. зміна місцями два будь-яких рівнянь;

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Метод Крамера

Розв’язання: Складемо основний визначник системи і обчислимо його

Метод Гауса

Сформуємо розширену матрицю: Прямий хід методу Гауса:

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3

2) Розв'язати систему рівнянь методом Гауса 1. 2. 3. 4. 5. …   ТЕМА 3: «ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ ТА ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ФОРМУЛИ НЬЮТОНА»

Основні поняття

На практиці досить часто бувають випадки, коли неможливо записати зв'язок між "х" та "у" у вигляді деякої залежності у = f(x).… З точки зору економії часу та засобів доцільно було б використати наявні… Цій меті служить задача про наближення (апроксимацію) функцій:

Нтерполяція

Інтерполяція - частковий випадок апроксимації. Нехай в точках х0, х1, х2, … , хn відомі значення f(x0), f(x1), f(x2)… f(xn) деякої функції f(x).… Якщо аргумент х знаходиться зовні відрізку [a, b], то поставлена задача… Інтерполяція в цьому випадку називається алгебраїчною. Алгебраїчне інтерполювання функції y = f(x) на відрізку [a, b]…

Метод найменших квадратів

х1 х2 … хn у1 у2 … уn  

Нтерполяційний поліном Ньютона.

Нехай маємо функцію f(x) і не обов"язково рівновіддалені вузли інтерполяції хі (і=0, 1, 2, … , n). Розділеними різницями 1-го порядку називають величини, які мають зміст,… (26)

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Метод найменших квадратів.

Розв'язання. Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь з…

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4

  2) Знайти інтерполяційний поліном Ньютона:   Варіант Дані X -3 -2 -1 …

Перша інтерполяційна формула Ньютона.

тоді

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Нехай маємо систему значень функції для рівновіддалених значень аргументу

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Перша та друга інтерполяційна формула Ньютона.

Приклад 1.

Розв’язання:

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 5

  Варіант Дані y=-sin 2x від x=10o до x= 45o з h=5o . Знайти sin 12o і sin 46o. y= - сos…   ТЕМА №5: «НАБЛИЖЕНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ»

Метод Ейлера

Рис. 9. Ілюстрація методу Ейлера. В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні… Розгляньмо задачу малювання графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці, і задовольняє дане диференціальне…

Метод Рунге-Кутта другого порядку.

необхідно враховувати більшу кількість членів ряду. Однак при цьому виникає необхідність апроксимації похідних від правих частин рівнянь. Основна… Для другого порядку отримано однопараметричне сімейство схем виду (37)

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Метод Ейлера

При аналітичному розв’язанні інтегруємо ліву та праву частини рівнянн та отримаємо: Обраховуємо значення постійного коефіцієнту: Аналітичний… Розв’яжемо дане рівняння з початковими умовами методом Ейлера з кроком .

Метод Рунге-Кутта другого порядку

Спочатку визначимо «грубее наближення» розв’язку.

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ № 6

2) Проінтегрувати методом Рунге-Кутта диференціальне рівняння. Варіант Рівняння Початкові умови …   ТЕМА №6: «НАБЛИЖЕНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ»

Метод прямокутників.

Види формули прямокутників: 1.1. Формула лівих прямокутників В даному випадку береться значення функції на початку проміжку:

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Метод прямокутників.

Розв’язання: Для обчислення інтегралу методом прямокутників за умови розіб’ємо відрізок… .

Метод трапецій

Розв’язання: Для обчислення інтеграла методом трапецій за умови розіб’ємо відрізок… .

Метод Сімпсона

  Для обчислення інтеграла методом Сімпсона за умови розіб’ємо відрізок… .

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ №7

2) Обчислити інтеграл методом трапецій за n=10; 3) Обчислити інтеграл методом Сімпсона за n=8. Варіант Завдання 1 Завдання 2 Завдання 3 …