рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод Ейлера

Метод Ейлера - раздел Математика, ТЕМА 1: НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ ...

Рис. 9. Ілюстрація методу Ейлера.

В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Розгляньмо задачу малювання графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці, і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, і може бути обчислена в кожній точці цієї кривої, як тільки відомі її координати.

Ідея методу полягає в тому, що хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо A0, відома (як на ілюстрації вгорі справа). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної. Тепер робимо маленький крок вздовж дотичної, до точки A1. Якщо ми припустимо що A1 все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною, можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних, і будувати криву на скінченному, короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

Рис. 10. Ілюстрація чисельного інтегрування Рис.11. Ілюстрація для кроку h = 0.25

рівняння y' = y,y(0) = 1. Видно, що метод середньої точки

Синій - метод Ейлера, зелений - метод збігається швидше ніж

середньої точки, червоний - точний метод Ейлера.

розв'язок, y = et. Розмір кроку - h = 1.0.

 

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки (t0,y(t0)). Один крок методу Ейлера з tn до tn + 1 = tn + h проводиться так:

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок yn + 1 є явною функцією yi для .

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку N може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням N − 1 додаткових змінних, , і створенням N рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

Якщо припустити, що f(t) і відповідно y(t) відомі точно в момент t0, тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент t0 + h як:

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння y' = f(t,y)). Розклад Тейлора для h біля t0 дає:

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

Для маленьких h, домінуючий доданок похибки пропорційний h2. Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку t, необхідна кількість кроків, яка пропорційна до 1 / h тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна h (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих h) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутта, чи метод Адамса.

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні h означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера - Крамера.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕМА 1: НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

План... Теоретична частина... Загальні правила обрахункової роботи Поняття абсолютної та відносної похибки...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Ейлера

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Загальні правила обрахункової роботи.
За умови виконання великої кількості обчислень необхідно притримуватися певного набору правил та обмежень, котрі значно підвищать ефективність та дозволять раціонально використовувати наявні ресурс

Поняття абсолютної та відносної похибки
Абсолютна похибка - це різниця між відповідним точним значенням розглянутої величини А і наближеним її значенням а. Похибка

Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язки рівняння
Графічний метод. Нехай дано рівняння f(x)=0, де функція f(x) визначена і неперервних в деякому інтервалі (a; b). Нехай наша функція f(x) має першу та другу похідну. Необхідно знайти

Метод половинного ділення
Нехай дано рівняння f(x)=0 де f(x) неперервна на [a, b] і f(a)*f(b)<0. Для знаходження кореня рівняння f(x) =0 на [а; b], ділимо [а; b] навпіл. Якщо f(

Метод хорд
Рівняння прямої, яка прохо-дить через точки M’[a,f(a)] і M[b,f(b)]:

Метод дотичних (метод Ньютона)
Геометричний зміст методу дотичних полягає в тому, що дуга кри­вої y = f (x) замінюється дотичною до цієї кривої, проведеною до одного з кінців відрізка [a, b]. Наближене значення кореня знахо­дять

Комбінований метод хорд і дотичних
Комбінуючи вище розглянуті методи, отримують новий метод знаходження дійсних ко­ренів рівняння f (х) = 0, перевагою якого є те, що послідовні на­ближення лежать по різні боки від шуканого кореня, і

Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язок рівняння.
Приклад 1. Відокремити корені рівняння . Розв’язання. Бу

Метод половинного ділення
Алгоритм методу половинного ділення. 1. Ввести, задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки e . 2. Обчислити значення функції f (x)

Значення e задається в межах 10 –4¸10 –6.
  Приклад 3. Методом половинного ділення знайти розв’язок рівняння з точністю 0,05.

Крок 1.
a=4.85; b=5.2;

Крок 2.

Метод хорд
Приклад 4. Знайти додатній корінь рівняння х3 – 2х2 +3х –5 = 0. Визначаємо знаки функцій в різних точках

Метод дотичних (метод Ньютона)
Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля і похідної | f’(x)| біля кореня достатньо велике, тобто графік функції f(x) в околі дано

Комбінований метод хорд і дотичних
Приклад 6. Обчислити з точністю до 0,0005 корінь рівняння х5 – х – 0,2 = 0, який знаходиться на відрізку [1; 1,1].

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1
1) Відокремити корені аналітично. 2) Відокремити корені аналітично і уточнити один з них методом проб з точністю до 0,01. 3) Відокремити корені графічно. 4) Відокремити к

Зразок виконання завдання
1. Позначимо f(x) =

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 2
1) Методом половинного ділення знайти розв’язок рівняння з точністю 0,05. 2) Використовуючи метод хорд знайти додатній корінь рівняння. 3) Знайти корінь рівняння використовуючи ме

Постановка задачі
У процесі вивчення різних питань еконо­міки, природознавства, техніки тощо доводиться розв’язувати систе­ми лінійних алгебраїчних рівнянь. Зокрема, до таких систем зводи­ться чисельне розв’язування

Формули Крамера
Розглянемо систему лінійних рівнянь (8). Ввівши позначення ,

Метод Гауса
Метод Гауса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розв’язання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.

Метод Крамера
Приклад 1.Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера.

Метод Гауса
Приклад 2. Знайдемо розв’язок системи рівнянь методом Гауса:

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3
1) Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера . 1.

Основні поняття
Нехай величина "y" є функцією аргумента "х", тобто будь−якому значенню "х" з області визначення поставлено у відповідність значення "

Нтерполяція
Під апроксимацією розуміють операцію знаходження невідомих чисельних значень якоїсь величини за відомими її значеннями і чисельними значеннями інших величин, які пов’язані з розглядуваною.

Метод найменших квадратів
Маємо таблицю значень:

Нтерполяційний поліном Ньютона.
Розглянемо форму запису інтерполяційного полінома Рn(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будем використовуват

Метод найменших квадратів.
Приклад 1. Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість.

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4
1) Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість. Варіант Да

Перша інтерполяційна формула Ньютона.
Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (30) звичайно записують у іншому вигляді. Для цього введемо нову змінну q:

Друга інтерполяційна формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона незручна для інтерполяції функції поблизу кінця таблиці. У цьому випадку використовується друга інтерполяційна формула Ньютона. Знайдемо цю формулу.

Приклад 1.
Дано значення функції y=-sin x від x=15o до x= 55o з h=5o . Знайти sin 14o і sin 56o. Ро

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 5
1) Використовуючи першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона, обчислити значення функції при заданих значеннях аргументу.   Варіант

Метод Рунге-Кутта другого порядку.
Для зменшення похибки методу інтегрування звичайних диференційних рівнянь, що використовує розкладання шуканого рішення в ряд Тейлора

Метод Ейлера
Приклад 1. Розв’язати методом Ейлера рівняння вигляду. Початкові умови :

Метод Рунге-Кутта другого порядку
Приклад 2. Проінтегрувати на відрізку диференціальне рівняння з початков

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ № 6
1) Розв’язати методом Ейлера диференціальне рівняння вигладу. 2) Проінтегрувати методом Рунге-Кутта диференціальне рівняння. Варіант Рівнянн

Метод прямокутників.
Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку. Види формули прямокут

Метод прямокутників.
Приклад 1. Обчислити інтеграл за формулами лівих i правих та середній

Метод трапецій
Приклад 2. Обчислитиінтеграл методом трапецій за п=10;

Метод Сімпсона
Приклад 3. Обчислитиінтеграл методом Сімпсона за п=8.

НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ №7
1) Обчислити інтеграл за формулою лівих, правих та середній прямокутників. 2) Обчислити інтеграл методом трапецій за n=10; 3) Обчислити інтеграл методом Сімпсона за n=8.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги