рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка

Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка - Методические Указания, раздел Математика, Методические указания и контрольные задания по высшей математике Пискунов, Гл. X111, §16—18, Упр. 118, 121—124; §20-22, Упр. 129—134, 1...

Пискунов, гл. X111, §16—18, упр. 118, 121—124; §20-22, упр. 129—134, 136; §23, 24, упр. 148—157, 38—40; § 25, упр. 141. 158. Разберите решения задачи 34-37 из данного пособия.

Задача 34.Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где - некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:

 

; ;

,

откуда или .

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :

;

.

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 35.Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение: Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента . Если

, то . Тогда данное уравнение примет вид

; ; .

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; - решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

; ; ;

, или .

Используя начальные условия, находим :

; .

Далее решаем уравнение :

; .

Теперь определим значение :

; .

Тогда

; и - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 36.Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

, , .

Решение: Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной :

.

В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим неоднородное линейное уравнение второго порядка:

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

Характеристическое уравнение имеет корни: , . Следовательно, общее решение (2) имеет вид

.

Находим частное решение . Дважды дифференцируя, получим , . Подставив в (1) , находим . Следовательно, и . (3)

Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда. (4)

Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему

Решение этой системы дает и . Следовательно,

и – частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Задача 37.Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) ; б) .

При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где - многочлен степени , - многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение . При решении которого возможны следующие случаи:

1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

3) уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные.

2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где - многочлен степени , - многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и - многочлены степени , , а - кратность корня характеристического уравнения .

При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:

Степень многочлена Вид многочлена Вид многочлена
=0
=1
=2
=3

 

Решение: а) .

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , т.о. =1.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то ,

. Найдём производные первого и второго порядка от .

 

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : .

Подставляем начальные условия в и .

Отсюда

Тогда -частное решение исходного уравнения.

б)

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения комплексные числа (третий случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, то .

Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условияв и .

Отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Н л гамершмид г в прусакова.. методические указания и контрольные задания..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
    Для студентов-заочников инженерных специальностей АГАУ   БАРНАУЛ 2008   УДК   Гамершмид

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  Порядок выполнения контрольных работ   На первом курсе обучения студенты-заочники выполняют работы 1 и 2; на втором – 3 и 4. К выполнению контрольной

Тема 2. Основы векторной алгебры
Ефимов, гл. 7-10. Минорский, № 390, 397, 399, 400, 405, 417, 418, 419, 427, 428, 434, 439, 440, 444. Разберите решение задачи 5 из данного пособия. Задача 5.

Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Ефимов, гл. 11-13. Минорский, № 452, 455, 457, 459, 466, 468-472, 474, 493, 494, 497, 507, 517, 518, 522, 532, 536, 566, 568. Разберите решение задач 6 и 7 из данного пособия.

Тема 4. Элементы линейной алгебры
Минорский, № 586, 592, 611, 615, 619, 622. Разберите решение задач 8 и 9 из данного пособия. Задача 8. Решить систему линейных уравнений:

Тема 6 Производная и дифференциал
Пискунов, гл. III, § 1—3, упр. 1—4, 7—9; §4—8, упр. 10—25; §9, упр. 28, 30, 36, 39—47, 50; § 10, упр. 51—55, 60, 63, 66, 68—73, 79—85, 110—112; § 11, упр. 142—150; § 12—15, упр. 116—121, 127

Тема 7. Исследование поведения функции
Пискунов, гл. V, § 1—5, упр. 1—11, 14, 17—20; § 6, упр. 32, 33; § 7, упр. 36, 39, 41—44, 46, 48; § 9, упр. 62—71; § 10, упр. 72—77; § 11 — 12, упр. 81—92, 94—97, 122, 123, 129, 134. Разберит

Тема 8. Неопределенный интеграл
Пискунов, гл. X, § 1—3, упр. 1—7; § 4, упр. 8—50, 59—68, 70—79, 84—86, 94—100; § 5, упр. 102—111, 115, 118, 123, 125; § 6, упр. 127-137, 140, 142; § 7—9, упр. 152—160, 163, 164, 167;

Тема 9. Определенный интеграл
Пискунов, гл. XI, § 1—4, упр. 6—18; § 5, 6, упр. 19—25; § 7, упр. 29—41; § 8, упр. 44—47. Разберите решение задач 22, 23 из данного пособия. Задача 22.

Тема 11. Функции нескольких переменных
Пискунов, гл. VIII, §1—5, упр. 1 —10; §6—9, упр. 11 — 13, 16, 17; §_10, 11, упр. 23, 24, 26—29, 32; §12, упр. 34—38; § 14, 15, упр. 40, 41; § 17, 18, упр. 47—49; гл. IX, § 6, упр. 18—20. Раз

Тема 12. Кратные интегралы. Криволинейный интеграл.
Пискунов, гл. XIV, §1—3, упр. 1 – 6, 8—16; §4, упр. 24—29, 31 — 36; §5, упр. 18—20, 38—40; § 7, упр. 43—47; § 8—10, упр. 51—54, 57, 64; § 11—14, упр. 65—68. Гл. XV, § 1—2 упр. 1—5. Разберите

Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Пискунов, гл. X111, §1—4, упр. 1 – 5, 9—23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39—44, 46; § 7, 8, упр. 57—68. Разберите решения задач 32, 33 из данного пособия. Задача 32.

Тема 16. Основы теории вероятностей
Пискунов, гл. XX, упр.1-12,14-27,30-32,34-38. Разберите решения задач 38—44 из данного пособия. Задача 38.Всхоже

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  В задачах 1—20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с то

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги