рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 16. Основы теории вероятностей

Тема 16. Основы теории вероятностей - Методические Указания, раздел Математика, Методические указания и контрольные задания по высшей математике Пискунов, Гл. Xx, Упр.1-12,14-27,30-32...

Пискунов, гл. XX, упр.1-12,14-27,30-32,34-38. Разберите решения задач 38—44 из данного пособия.

Задача 38.Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.

Решение: Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события q=1-р, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле:

, (1)

– есть число сочетаний из п элементов по т.

а) По условию задачи вероятность всхожести семян р=0,9; тогда q= 0,1; в данном случае n=5 и т = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

.

б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):

.

Следовательно, Р(А) =0,328 +0,591 = 0,919.

Задача 39.Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение: Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле

(2)

Имеются готовые таблицы значений функции (см. табл. 1 Приложения). Для х>5 считают, что

Так как функция φ(х)–четная, то φ(-х)=φ(х). По условию задачи n=625, m=415, р=0,64. Находим q=1–0,64=0,36. Определяем значение x:

По таблице 1 находим, что φ(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим

Задача 40.Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение: Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т). При малых значениях р (и при малых значениях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле

(3)

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда

При этом чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи n = 5000, m = 5, р = 0,0004. Тогда λ = 5000·0,0004 = 2. Применяя (3), получим

Задача 41.Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение: Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно m раз при п независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее т1 раз и не более т2 раз, т. е. число т определено неравенствами В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее т1 раз и не более т2 раз, вычисляется приближенно по формуле

(4)

Функция Ф(х) являйся монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:

(5)

Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Функция Φ(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(–х)=–Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. По условию n = 600, p=0,6, m1= 330, m2=375. Находим

По таб. 2 находим Ф( 1,25) = 0,3944; Ф(–2,5) = –Ф(2,5)= = – 0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:

Задача 42.Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

X
P 0.2 0.1 0.4 0.3

Найти: 1) математическое ожидание; 2) ; 3) среднее квадратическое отклонение .

Решение: 1) Математическое ожиданиевычислим по формуле: . Тогда имеем:

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

.

Сначала вычислим : . Тогда получим:

3) Среднее квадратическое отклонение : . Т.е. .

Задача 43.Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х) =5; дисперсия D(X) = 0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4,7).

Решение: Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

Если величина X распределена по нормальному закону, то

(6)

где а=М(Х) и . По условию задачи а = 5, , α=4 и β=7. Подставив эти данные в (6), получим:

Задача 44.Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а = 40 см, среднее квадратическое отклонение σ = 0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение: Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а–δ, а+δ), где а = 40 и δ = 0,6. Подставив в формулу (6) α=а – δ и β= а + δ, получим

(7)

Таким образом, подставляя в (7) имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8864.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Н л гамершмид г в прусакова.. методические указания и контрольные задания..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 16. Основы теории вероятностей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
    Для студентов-заочников инженерных специальностей АГАУ   БАРНАУЛ 2008   УДК   Гамершмид

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  Порядок выполнения контрольных работ   На первом курсе обучения студенты-заочники выполняют работы 1 и 2; на втором – 3 и 4. К выполнению контрольной

Тема 2. Основы векторной алгебры
Ефимов, гл. 7-10. Минорский, № 390, 397, 399, 400, 405, 417, 418, 419, 427, 428, 434, 439, 440, 444. Разберите решение задачи 5 из данного пособия. Задача 5.

Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Ефимов, гл. 11-13. Минорский, № 452, 455, 457, 459, 466, 468-472, 474, 493, 494, 497, 507, 517, 518, 522, 532, 536, 566, 568. Разберите решение задач 6 и 7 из данного пособия.

Тема 4. Элементы линейной алгебры
Минорский, № 586, 592, 611, 615, 619, 622. Разберите решение задач 8 и 9 из данного пособия. Задача 8. Решить систему линейных уравнений:

Тема 6 Производная и дифференциал
Пискунов, гл. III, § 1—3, упр. 1—4, 7—9; §4—8, упр. 10—25; §9, упр. 28, 30, 36, 39—47, 50; § 10, упр. 51—55, 60, 63, 66, 68—73, 79—85, 110—112; § 11, упр. 142—150; § 12—15, упр. 116—121, 127

Тема 7. Исследование поведения функции
Пискунов, гл. V, § 1—5, упр. 1—11, 14, 17—20; § 6, упр. 32, 33; § 7, упр. 36, 39, 41—44, 46, 48; § 9, упр. 62—71; § 10, упр. 72—77; § 11 — 12, упр. 81—92, 94—97, 122, 123, 129, 134. Разберит

Тема 8. Неопределенный интеграл
Пискунов, гл. X, § 1—3, упр. 1—7; § 4, упр. 8—50, 59—68, 70—79, 84—86, 94—100; § 5, упр. 102—111, 115, 118, 123, 125; § 6, упр. 127-137, 140, 142; § 7—9, упр. 152—160, 163, 164, 167;

Тема 9. Определенный интеграл
Пискунов, гл. XI, § 1—4, упр. 6—18; § 5, 6, упр. 19—25; § 7, упр. 29—41; § 8, упр. 44—47. Разберите решение задач 22, 23 из данного пособия. Задача 22.

Тема 11. Функции нескольких переменных
Пискунов, гл. VIII, §1—5, упр. 1 —10; §6—9, упр. 11 — 13, 16, 17; §_10, 11, упр. 23, 24, 26—29, 32; §12, упр. 34—38; § 14, 15, упр. 40, 41; § 17, 18, упр. 47—49; гл. IX, § 6, упр. 18—20. Раз

Тема 12. Кратные интегралы. Криволинейный интеграл.
Пискунов, гл. XIV, §1—3, упр. 1 – 6, 8—16; §4, упр. 24—29, 31 — 36; §5, упр. 18—20, 38—40; § 7, упр. 43—47; § 8—10, упр. 51—54, 57, 64; § 11—14, упр. 65—68. Гл. XV, § 1—2 упр. 1—5. Разберите

Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Пискунов, гл. X111, §1—4, упр. 1 – 5, 9—23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39—44, 46; § 7, 8, упр. 57—68. Разберите решения задач 32, 33 из данного пособия. Задача 32.

Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка
Пискунов, гл. X111, §16—18, упр. 118, 121—124; §20-22, упр. 129—134, 136; §23, 24, упр. 148—157, 38—40; § 25, упр. 141. 158. Разберите решения задачи 34-37 из данного пособия.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  В задачах 1—20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с то

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги