Ефимов, гл. 7-10. Минорский, № 390, 397, 399, 400, 405, 417, 418, 419, 427, 428, 434, 439, 440, 444. Разберите решение задачи 5 из данного пособия.
Задача 5.Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2;1;0), B(3;-1;2), C(13;3;10), D(0;1;4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) найти объем пирамиды ABCD.
Решение:
1. Произвольный вектор может быть представлен в системе орт следующей формулой:
(1)
где ах, ау, аz — проекции вектора на координатные оси Ох, Оу и Oz, a — единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz.
Если даны точки то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:
. (2)
Тогда
(3)
Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор:
.
Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим
.
Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор
.
Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле
. (4)
Применяя (4), получим модули найденных векторов:
2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:
Находим скалярное произведение векторов и по формуле:
.
Получаем
Модули этих векторов уже найдены: Следовательно,
3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :
4. Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения векторов и . Вычислим векторное произведение по формуле: . Тогда значит
5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведениепо формуле: . Тогда
Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD: куб. ед.