рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 7. Исследование поведения функции

Тема 7. Исследование поведения функции - Методические Указания, раздел Математика, Методические указания и контрольные задания по высшей математике Пискунов, Гл. V, § 1—5, Упр. 1—11, 14, 17—20; § 6, Упр. 32, 33; § 7, У...

Пискунов, гл. V, § 1—5, упр. 1—11, 14, 17—20; § 6, упр. 32, 33; § 7, упр. 36, 39, 41—44, 46, 48; § 9, упр. 62—71; § 10, упр. 72—77; § 11 — 12, упр. 81—92, 94—97, 122, 123, 129, 134. Разберите решения задач 18— 20 из данного пособия.

Задача 18. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так: . Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента х. Следовательно, областью существования данной функции служит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как и то функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:

Знаменатель для любого значения х. Как видно, при первая производная отрицательна, а при положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум:

Итак, А(3; 0) — точка минимума (см. рис. 8). Функция убывает на интервале и возрастает на интервале .

5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала:Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При х1 = 2 и х2 = 4 вторая производная меняет свой знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты точек:

Следовательно, и — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах и , и вогнутым в интервале (2, 4).

6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения невертикальной асимптоты воспользуемся формулами:

Имеем

Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:

Итак, кривая не имеет асимптот. График исследуемой функции показан на рис. 8.

Задача 19. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: 1. Функция терпит разрыв при х=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как и

3.Исследуем функцию на экстремум, используя вто­рой достаточный признак экстремума: если в стационарной точке х0 вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция имеет максимум при и минимум при Находим первую производную:

(1)

или

Как видно, первая производная равна нулю при х = 1 и х = 3 и не существует при х = 2. Так как при х = 2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у":


Сократив на и выполнив преобразования в числителе, получим

(2)

 

Так как то при х1 = 1 функция имеет максимум. Так как то при х2 = 3 функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в точках экстремума: y(1) = 3; у (3) = 7. Следовательно, А (1; 3) — точка максимума, В(3; 7) — точка минимума.

4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.

5. Определим асимптоты графика функции, х = 2 есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

Следовательно, – уравнение наклонной асимптоты. График исследуемой функции приведен на рис. 9.

Задача 20. Расстояние от центральной усадьбы совхоза до районного центра, расположенного у асфальтированной прямолинейной дороги, составляет 26 км (отрезок АВ на рис. 10), а кратчайшее расстояние от центральной усадьбы до этой дороги — 10 км (отрезок АС). Скорость велосипедиста на асфальтированной дороге равна 20 км/ч, а за ее пределами — 12 км/ч. Найти минимальное время, в течение которого велосипедист преодолеет путь от центральной усадьбы до районного центра.

Решение: Пусть CD = х, тогда Путь велосипедиста состоит из двух участков AD и BD. На первом участке его скорость равна 12 км/ч, на втором — 20 км/ч. Время, затраченное велосипедистом на весь путь,

(1)

(Из прямоугольного треугольника АВС следует, что ВС = 24; следовательно, BD = 24 —х.)

Исследуем функцию (1) на экстремум. Найдем первую производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение. Имеем

(2)


откуда

Определим знак производной (2) при и при

При х = 7,5 производная изменяет знак с минуса на плюс; значит, при этом значении аргумента функция имеет минимум. Подставив в (1) х = 7,5, получим

Таким образом, минимальное время нахождения в пути велосипедиста составляет 1 ч 52 мин.

Заметим, что при x = 0, т.е. если выбрать кратчайший путь до асфальтированной дороги, а затем двигаться по ней, то время в пути составит у(0) = 2 ч 02 мин. Если же выбрать прямой путь по неасфальтированной дороге (т.е. при х = 24), то время в пути составит 2 ч 10 мин.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Н л гамершмид г в прусакова.. методические указания и контрольные задания..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 7. Исследование поведения функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
    Для студентов-заочников инженерных специальностей АГАУ   БАРНАУЛ 2008   УДК   Гамершмид

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  Порядок выполнения контрольных работ   На первом курсе обучения студенты-заочники выполняют работы 1 и 2; на втором – 3 и 4. К выполнению контрольной

Тема 2. Основы векторной алгебры
Ефимов, гл. 7-10. Минорский, № 390, 397, 399, 400, 405, 417, 418, 419, 427, 428, 434, 439, 440, 444. Разберите решение задачи 5 из данного пособия. Задача 5.

Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Ефимов, гл. 11-13. Минорский, № 452, 455, 457, 459, 466, 468-472, 474, 493, 494, 497, 507, 517, 518, 522, 532, 536, 566, 568. Разберите решение задач 6 и 7 из данного пособия.

Тема 4. Элементы линейной алгебры
Минорский, № 586, 592, 611, 615, 619, 622. Разберите решение задач 8 и 9 из данного пособия. Задача 8. Решить систему линейных уравнений:

Тема 6 Производная и дифференциал
Пискунов, гл. III, § 1—3, упр. 1—4, 7—9; §4—8, упр. 10—25; §9, упр. 28, 30, 36, 39—47, 50; § 10, упр. 51—55, 60, 63, 66, 68—73, 79—85, 110—112; § 11, упр. 142—150; § 12—15, упр. 116—121, 127

Тема 8. Неопределенный интеграл
Пискунов, гл. X, § 1—3, упр. 1—7; § 4, упр. 8—50, 59—68, 70—79, 84—86, 94—100; § 5, упр. 102—111, 115, 118, 123, 125; § 6, упр. 127-137, 140, 142; § 7—9, упр. 152—160, 163, 164, 167;

Тема 9. Определенный интеграл
Пискунов, гл. XI, § 1—4, упр. 6—18; § 5, 6, упр. 19—25; § 7, упр. 29—41; § 8, упр. 44—47. Разберите решение задач 22, 23 из данного пособия. Задача 22.

Тема 11. Функции нескольких переменных
Пискунов, гл. VIII, §1—5, упр. 1 —10; §6—9, упр. 11 — 13, 16, 17; §_10, 11, упр. 23, 24, 26—29, 32; §12, упр. 34—38; § 14, 15, упр. 40, 41; § 17, 18, упр. 47—49; гл. IX, § 6, упр. 18—20. Раз

Тема 12. Кратные интегралы. Криволинейный интеграл.
Пискунов, гл. XIV, §1—3, упр. 1 – 6, 8—16; §4, упр. 24—29, 31 — 36; §5, упр. 18—20, 38—40; § 7, упр. 43—47; § 8—10, упр. 51—54, 57, 64; § 11—14, упр. 65—68. Гл. XV, § 1—2 упр. 1—5. Разберите

Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Пискунов, гл. X111, §1—4, упр. 1 – 5, 9—23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39—44, 46; § 7, 8, упр. 57—68. Разберите решения задач 32, 33 из данного пособия. Задача 32.

Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка
Пискунов, гл. X111, §16—18, упр. 118, 121—124; §20-22, упр. 129—134, 136; §23, 24, упр. 148—157, 38—40; § 25, упр. 141. 158. Разберите решения задачи 34-37 из данного пособия.

Тема 16. Основы теории вероятностей
Пискунов, гл. XX, упр.1-12,14-27,30-32,34-38. Разберите решения задач 38—44 из данного пособия. Задача 38.Всхоже

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  В задачах 1—20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с то

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги