Пискунов, гл. XI, § 1—4, упр. 6—18; § 5, 6, упр. 19—25; § 7, упр. 29—41; § 8, упр. 44—47. Разберите решение задач 22, 23 из данного пособия.
Задача 22.Вычислить интеграл
Решение: Сделаем подстановку. Пусть
Тогда Определим пределы интегрирования для переменной z. При получаем , при получаем .
Выразив подынтегральное выражение через z и переходя к новым пределам, получим
Так как разность кубов то, сократив на знаменатель, получим
Задача 23.Вычислить интеграл или установить его расходимость.
Решение: Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при , т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция f(x) интеграла имеет бесконечный разрыв при х = с, где а<с<b, а во всех других точках отрезка [а,b] непрерывна, то по определению полагают:
(*)
Если оба предела в правой части (*) существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.
Следовательно, данный интеграл — сходящийся.
Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (а, b).