Нтегральна сума

Розв’язання багатьох практичних задач пов’язано з обчисленням значення деякої величини F, закон зміни якої невідомий, але відома функція f, яка певним чином характеризує цей змінний процес в точках заданої області D. Значення невідомої величини F залежать від заданої функції f та від вибору області D.

Наприклад. Для однорідної пластини її маса пропорційна площі пластини, оскільки чисельне значення об’єму пластини відрізняється від чисельного значення її площі на нескінченно малу величину, тобто , , . Якщо ж обчислити за розглянутими формулами масу неоднорідної пластини, то одержаний результат буде мати велику похибку. Тому необхідно шукати інший спосіб обчислення маси неоднорідної пластини.

Геометрію пластини опишемо аналітично як деяку область D площини ХОУ. Закон зміни густини в межах області D відомий, . Значення маси неоднорідної пластини обчислюють як сукупну величину в точках області D. Для знаходження маси будують математичну модель, в основу якої покладена ідея складання інтегральної суми. Математичні моделі складаються в двовимірному Евклідовому просторі.

При побудові математичної моделі наближене значення шуканої величини F в області D визначають як суму нескінченно малих величин. Це дозволяє зменшити похибку обчислень. Точне значення шуканої величини F відповідає границі послідовності її наближених значень, одержаних при різних способах формування інтегральних сум.

Побудова математичної моделі

Розглянемо в декартовій площині ХОУ квадровну область D, в точках якої визначена функція двох змінних, .

1. Розглянемо область D.

Площа області D дорівнює сумі таких площ . Якщо кількість частин розбиття збільшувати, , то навіть площа найбільшої з одержаних частин розбиття стає нескінченно малою величиною, ,

2. Будемо вважати, що для кожної частини розбиття в різних її точках значення функції відрізняються на нескінченно малі величини, які мають порядок малості більший за порядок малості площі частини розбиття . Тобто, можна вважати, що функція в точках частини розбиття є “ практично “ сталою. Тому у кожній частині розбиття виберемо довільну точку , в якій обчислимо значенні функції .

3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття . Будемо вважати, що це значення пропорційне площі чистини розбиття. Коефіцієнт пропорційності дорівнює значенню функції у вибраній точці, . Таким чином, в межах частини розбиття значення шуканої величини наближено дорівнює добутку сталої на нескінченно малу величину, , і є нескінченно малою величиною, , порядок малості якої відповідає порядку малості площі частини розбиття .

4. Утворимо суму із наближених значень шуканої величини в частинах розбиття :

. (1.2)

Таку суму називають інтегральної сумою функції , яка відповідає заданому розбиттю області D та заданому вибору проміжних точок у частинах розбиття.

Інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, . Точність обчислень збільшується при збільшенні подрібнення області D.

Легко обчислюються площі прямокутників, довжини сторін яких дорівнюють , (рис.1.5);

; ; ;

Площа одного такого прямокутника дорівнює .

Сформуємо інтегральну суму при такому способі розбиття області D.

1. Розглянемо всі прямокутники, які повністю лежать в середині області D (рис.1.6).

Сума площ вписаних прямокутників наближається до площі області D:

при цьому, різниця між точним і наближеним значеннями площі стає нескінченно малою величиною, при та Зауваження. Аналогічним чином можна розглядати площі всіх прямокутників, які повністю або частково містять точки області D.

2. Будемо вважати, що в межах елементарного нескінченно малого прямокутника значення функції є “ практично “ сталим і дорівнює значенню функції у одній з його вершин, наприклад .

3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття . Воно дорівнює добутку .

4. Складемо інтегральну суму функції в області D. Розглянемо суму

наближених значень шуканої величини в частинах розбиття, :

(1.3)

Така сума називається подвійноюінтегральною сумою функції в області D.

Подвійна інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, .