рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Математика
  •  / 
  • Обчислення подвійних інтегралів.

Реферат Курсовая Конспект

Обчислення подвійних інтегралів.

Обчислення подвійних інтегралів. - раздел Математика, Вища математика Обчислення Подвійного Інтеграла Як Границі Інтегральної Суми Пов’Язано Із Зна...

Обчислення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми пов’язано із значними труднощами. Для спрощення обчислень подвійні інтеграли зводять до послідовного обчислення двох визначених інтегралів (двократного повторного інтегрування).

Розглянемо область D правильну в напряму осі ОУ (рис.1.8), обмежену прямими та , , і кривими та , для , то для подвійного інтеграла справедлива формула:

(1.16)

Якщо область D правильна в напряму осі ОХ (рис.1.9), обмежена прямими та , , і кривими та , для , то для подвійного інтеграла справедлива формула:

(1.17)

Інтеграли в правій частині формул (1.16) і (1.17) називають повторними інтегралами.

Повторні інтеграли в правих частинах цих рівностей називають інтегралами з різним порядком інтегрування.

 

Порядок інтегрування подвійних інтегралів

1. Обчислення повторних інтегралів починають з внутрішніх інтегралів.

Інтегрування ведеться по змінній, яка стоїть під знаком диференціала у внутрішньому інтегралі. Причому, змінну, по якій не проводиться інтегрування, вважають за сталу. В наслідок інтегрування одержують функцію однієї змінної, по якій не велося інтегрування:

, (1.18)

або

. (1.19)

2. Одержану функцію однієї змінної підставляють у зовнішній визначений інтеграл:

(1.20)

або

(1.21)

Для визначення меж інтегрування, при заміні подвійного інтеграла на повторні інтеграли (формули (1.16), (1.17)), можна користуватись системами нерівностей, формула (1.7) або (1.8), які описують правильну область інтегрування D.

Зауваження.Зовнішній інтеграл завжди має сталі межі, які характеризують інтервал значень змінної, по якій ведеться інтегрування у зовнішньому інтегралі. Межі внутрішнього інтеграла можуть бути як сталими так і функціями, в залежності від структури області інтегрування.

Зміна порядку інтегрування

Якщо область інтегрування є правильною в напряму обох осей і область можна описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8), то в повторному інтегралі можна міняти порядок інтегрування,

 

Щоб змінити порядок інтегрування необхідно перейти від формули (1.16) до формули (1.17) або навпаки.

Значенняподвійного інтеграла не змінюється при зміні порядку інтегрування.

Зауваження. Якщо область інтегрування є правильною, але межі області складаються з декількох ділянок (більше чим дві криві, які описуються різними рівняннями), область інтегрування поділяють на декілька частин так, щоб кожну область можна було описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8).

  Рис. 11 Приклад 1.1. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОУ області А, В, С (рис. 11), які описуються нерівностями:    
    Рис. 12 Приклад 1.2. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОХ області (рис. 12), які описуються нерівностями:      

Подвійні інтеграли обчислюють окремо для кожної з правильних областей. Для одержання відповіді всі обчисленні значення подвійних інтегралів сумують.

При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.1, подвійний інтеграл обчислюється як сума трьох інтегралів:

 

Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:

 

 

При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.2, подвійний інтеграл обчислюється як сума чотирьох інтегралів:

 

 

Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:

 

 

5) Застосування подвійних інтегралів.

Подвійні інтеграли мають важливе геометричне, механічне, фізичне та інше застосування. Ідею обчислення подвійних інтегралів, як границі інтегральної суми нескінченно малих, використовують при створенні математичних моделей для обчислення значень геометричних, фізичних та інших величин.
Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Вища математика

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ТЕХНОЛОГІЙ ТА ДИЗАЙНУ... Вища математика...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Обчислення подвійних інтегралів.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Кратні та криволінійні інтеграли
Методичні вказівки до виконання тестових завдань для перевірки самостійної роботи студентів та варіанти тестів напрям підготовки «Технологія виробів легкої промисловості»

Основні поняття та теореми
Узагальнимо основні ідеї і методи інтегрального числення функції однієї змінної на функції двох змінних. Подвійний інтеграл розглядається в квадровній області D евк

Двовимірний Евклідів простір
Двовимірний Евклідів простір (евклідова площина) – це множина точок та векторів у декартовій системі координат ХОУ, на якій для будь-якої пари точок та

Область в Евклідовому просторі
При обчисленні подвійних інтегралів розглядають деяку множину точок евклідової площини, яка задовольняє певним умовам. Обмежена область або обмежена множина точ

Нтегральна сума
Розв’язання багатьох практичних задач пов’язано з обчисленням значення деякої величини F, закон зміни якої невідомий, але відома функція f, яка певним чином характеризує цей змінний п

Подвійний інтеграл
Знайдемо границю подвійної інтегральної суми при , . Якщо вона існує, позначимо її: (1.4) Повернемось до інтегральної суми . Позначимо найбільшу з елементарних площ , . Я

Правильні області
Для довільної області D процес складання інтегральної суми та знаходження значення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми є досить складним. Розглянемо більш прості види

Властивості подвійних інтегралів
1. Лінійність подвійного інтеграла. Якщо підінтегральна функція є лінійною комбінацією інтегрованих функцій, то подвійний інтеграл можна представити у вигляді аналогічної лінійної к

Базових знань на рівні понять, означень, формулювань
по темі "Подвійний інтеграл"   1. Інтегральну суму функції по області D обчислюють за формулою: а) ; б) ; в) ; г) ;

Розв’язання
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.   1.Областю інтегрув

Розв’язання
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.      

Розв’язання
Зміна порядку інтегруванняприводить до зміни меж інтегрування, що може суттєво впливати на характер обчислень. Тому необхідно намагатися обирати той із варіантів заміни на

Розв’язання
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.   1. Областю інтегру

Розв’язання
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.   1. При обчисленні площі обла

Область .
Крок 2.6.Обчислимо значення повторного інтеграла по області . 1) Обчислимо внутрішній інтеграл: . 2) Обчислимо зовнішній інтеграл: . &n

Розв’язання
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла: 1. Функція є неперервною в області інтегрування. 2. Область інтег

Умінь обчислення подвійних інтегралів
  Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.   3. При обчис

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги