Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежская государственная лесотехническая академия»

Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ

Методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 260100 (250401)– Лесоинженерное дело

Введение

 

Настоящие методические указания предназначены для студентов IV курса спец. 260100 специализации «Технология лесопромышленного производства» и содержит рекомендации по выполнению практических работ, предусмотренных рабочей программой дисциплин «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ».

В результате выполнения работ каждый студент углубляет знания о закономерностях функционирования технологических процессов и приобретает практические навыки в решении прикладных задач учитывая специфику лесной промышленности.

Особое внимание при выполнении работ, уделено вопросам построения математических моделей как основополагающему и наиболее творческому этапу решения задач. В связи с тем, что современное компьютерное программное обеспечение позволяет значительно упростить процесс поиска оптимальных решений, наиболее трудоемкие методы решения задач.

В методическом указании приведены методические рекомендации по построению математических моделей и решению прикладных задач, которые могут встретиться в практической деятельности технолога лесозаготовок, рассмотрены примеры решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения.

 

Лабораторная работа № 1

Определение значения функции, заданной таблично, используя метод интерполяции

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: углубить представление о способах задания функций одной переменной, вычислить значения функций заданной таблично, используя линейную интерполяцию.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Функции одной переменной

Понятие функции одной переменной

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта: 1) множество Х (область определения функции); 2) множество Y (область значений функции);

Способы задания функции одной переменной

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x². Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы “видим функцию”.

Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

t

T,0С

Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке [a;b] другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.

Интерполирование функций.

Постановка задачи интерполяции.

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок [x0;xn], но не совпадает ни с одним из… Классический подход к решению задачи построения приближающей функции… F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn. (1)

Лабораторная работа №2

Проведение регрессионного анализа и прогнозирования

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: углубить представление о методах прогнозирования, изучить методику проведения регрессионного анализа. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

В практике статистического исследования весьма часто возникает необходимость определить не только корреляционное соотношение между изучаемыми характеристиками, но и установить определенную обусловленность между ними, представив выявленную связь в строгой аналитической форме.

В этом случае результат исследования – экспериментальная зависимость воздействия какого-либо фактора (скажем, производительности труда, уровня образования, практического стажа работы и т.д.) на изменение изучаемого параметра (например, величины прибыли фирмы) − может быть не только представлен в виде графика (что весьма наглядно), но и описан математически с использованием аппроксимирующего выражения (эмпирической формулы).

Исследование такой ситуации и является задачей регрессионного анализа, который дает предсказание (прогнозирование) одной переменной на основании другой. Регрессионный анализ четко распределяет роли между изучаемыми характеристиками − одна из них является аргументом, а вторая функцией. Переменная, которая прогнозируется (функция), обозначается как у, а переменная, которая используется для такого прогнозирования (аргумент или фактор), − это х.

Таким образом, в случае выявления корреляции дается попытка ответить на вопрос: «Существует ли связь?» Целью регрессионного анализа является поиск ответа на уже более сложный вопрос: «Каков вид этой связи? Что на что влияет?» Однако в последнем случае речь не идет о выяснении механизма причинности обнаруженной связи, т.е. не ставится вопрос «Почему существует связь?» Это уже считается проблемой специального исследования, касающегося выявления физической (или социальной) природы изучаемого процесса.

Аппроксимационные модели

Следовательно, сам оригинал (физический процесс, экономическое явление) заменяется некоторым аналогом, «эрзацем» (т.е. моделью). Такое создание… Обычно под аппроксимацией (от лат. approximatio − приближение) понимают… В этом случае связь между исходным объектом (оригиналом) F и его приближенным представлением (моделью) f соответствует…

Выбор формул лучшего вида

Формально могут возникать ситуации двух типов: 1. Вид функциональной зависимости неизвестен. В этом случае нужно решить… 2. Вид функциональной зависимости известен и требуется только найти ее параметры (коэффициенты регрессии ).

Поиск уравнения регрессии

Студент Боб Деканкин решил в период летних каникул немного подзаработать, для чего устроился в контору «Ржавая подкова», занимающуюся сбором… Боб Деканкин, знакомый с методом регрессионного анализа, решил взяться за… Таблица 4

Пример с использование традиционных способов расчета

На первом этапе проведем вычисление традиционным, а потому и самым утомительным способом, т.е. «вручную». Здесь нам в лучшем случае может помочь лишь калькулятор.

 

Рис.1. Графическое изображение исследуемой зависимости y = f(x)

Вычисление коэффициентов регрессии удобнее проводить в табличной форме. Для этого заполним табл.5, в которой, помимо исходных данных (их мы расположим по столбцам), в графах 4-8 укажем вспомогательные расчетные данные.

Для проверки правильности вычисления в таблице можно использовать следующее выражение: Σ(х+у)2 = Σх2 + 2Σху + Σу2.

1. Определим среднее арифметическое для каждого ряда − для х и у. Они составят соответственно: ⎯х = 59,5/8 = 7,44 ч и у = 61,5/8 = 7,69 кг. Значения полученных сумм подставляем в формулу для последующейпроверки. Получим:

2072,00 = 541,75 + 2×510,25 + 509,75;

2072,00 = 2072,00.

Следовательно, вычисления выполнены правильно.

Таблица 5

Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов регрессии

№ п/п	x	y	x2	y2	xy	x+y	(x+y)2
	1,5	5,0	2,25	25,00	4,5	6,5	42,25
	4,0	4,5	16,0	20,25	18,0	8,5	72,25
	5,0	7,0	25,0	49,0	35,0	12,0	144,0
	7,0	6,5	49,0	42,25	45,5	13,5	182,25
	8,5	9,5	72,25	90,25	80,75	18,0	324,0
	10,0	9,0	100,0	81,0	90,0	19,0	361,0
	11,0	11,0	121,0	121,0	121,0	22,0	484,0
	12,5	9,0	156,25	81,00	112,5	21,5	462,25
Итого	Σ=59,5	Σ=61,5	Σ=541,75	Σ=509,75	Σ=510,25	Σ=121,00	Σ=2072,00

 

2. Рассчитаем теперь коэффициенты и по известным формулам:

 

, кг

 

, кг/ч

Следовательно, уравнение регрессии, т.е. формула, с некоторой вероятностью отображающая зависимость у от х, имеет следующий вид:

ŷ = 3,73 + 0,53х.

3. Для проверки значимости (пригодности) полученного уравнения регрессии применяют специальные приемы. Такую проверку называют проверкой адекватности модели.

Для количественной проверки гипотезы об адекватности можно использовать так называемый F−критерий (критерий Фишера):

 

где − остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности.

Она характеризует величину среднего разброса экспериментальных точек Δу относительно линии регрессии, т.е. Δу = yi - ŷi (Δу есть ошибка в предсказании экспериментального результата на основании математической модели).

Остаточная дисперсия, таким образом, позволяет оценить ошибку, с которой уравнение регрессии предсказывает фактический результат. Следовательно, минимальная величина остаточной дисперсии должна свидетельствовать о более удачном выборе линии регрессии.

Вообще в статистике принято считать, что применение критерия минимальности остаточной дисперсии является вполне надежным способом отбора адекватных экономико-математических моделей.

Чтобы определить, велика или мала ошибка в предсказании эмпирических результатов, ее нужно сопоставить с некоторой статистической величиной (эталоном), принимаемой в качестве критической. Вот почему используется расчетный F-критерий, который затем сравнивают с Fкрит.

Если Fрасч < Fкрит, то модель признается адекватной, т.е. с заданной степенью достоверности (надежности) она верно предсказывает реальный результат. Если же Fрасч > Fкрит, то вывод обратный: данное уравнение не может с заданной надежностью прогнозировать эмпирические данные.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера дает возможность ответить на вопрос, во сколько раз хуже по сравнению с опытом предсказывает результат модель.

Остаточная дисперсия рассчитывается путем деления остаточной суммы квадратов на число степеней свободы f по следующей формуле:

 

Здесь число степеней свободы f = n − (k + 1), где n − число опытов в эксперименте (т.е. объем случайной выборки); k − число изучаемых факторов.

Для однофакторного эксперимента имеем f = n − 2 и тогда

 

Вторая характеристика в формуле для расчета F-критерия (знаменатель) − это так называемая усредненная, или общая дисперсия. В качестве таковой принимается квадрат стандартной ошибки . Этот показатель фактически характеризует случайную ошибку для всей выборки, т.е. оценивает несоответствие между конкретными (текущими) значениями результата эксперимента и средним арифметическим.

Общая дисперсия рассчитывается так:

 

Вернемся к нашему примеру. Оценим статистическую пригодность полученного линейного уравнения. Показатель удобно вычислять в табличной форме (табл.6). Расчет проведем по формулам:

, и

Таблица 6

Вспомогательная таблица для проверки уравнения на адекватность

№ п/п	xi	yi
	1.5	5.0	4.53	0.47	0.221	2.69	7.24
	4.0	4.5	5.85	-1.35	1.822	3.19	10.18
	5.0	7.0	6.36	0.62	0.384	0.69	0.48
	7.0	6.5	7.44	-0.94	0.884	1.19	1.42
	8.5	9.5	8.24	1.26	1.588	1.81	3.28
	10.0	9.0	9.03	-0.03	0.001	1.31	1.72
	11.0	11.0	9.53	1.44	2.074	3.31	10.96
	12.5	9.0	10.35	-1.35	1.882	1.31	1.72
	Σ=59,5	Σ=61,5		Σ=0,12	Σ=8,86	Σ=15,51	Σ=36,3

Определим величину критерия Фишера:

 

Определим табличное значение для α = 0,05, а также степеней свободы для числителя f1 ( ) и знаменателя f2 ( ). Они составят соответственно f1 = n−2, т.к. f =n−(k+1), где n− число опытов в эксперименте (т.е. составляет объем случайной выборки); k−число изучаемых факторов. Для однофакторного эксперимента имеем f=n−2.

Для второго показателя f2=n−m, где m−количество вычисленных констант для переменной у, которая соответствует среднемарифметическому ⎯у (т.е. m=1). Тогда f2=n−1,а Fкрит (0,05; f1; f2) = 3,87 (прил.3).

Поскольку 0,24<3,87, то с вероятностью 95% можно утверждать, что рассматриваемое уравнение адекватно и способно с указанной достоверностью предсказывать экспериментальные результаты.

Если теперь возвратиться к самому обсуждаемому заданию, то можно заметить, что смышленый студент Боб Деканкин вполне управился с порученным делом. Он сообщил пытливому г-ну Тютякину, что на основании имеющихся опытных данных можно уверенно спрогнозировать (с надежностью 95%) результат сбора медного лома: за 8 часов работы это составит почти 8 кг (3,7+0,53×8=7,97).

Примечание. В литературе по статистике обычно используются дваподхода к оценке Fрасч: либо как отношение / , либо как / . Соответственно и статистический вывод на основании сравнения вычисленного F-критерия и эталонного Fкрит дается с учетом принятого соотношения. Нами рассматривается версия, когда Fрасч = / ; в то же время в компьютерной программе используется обратное отношение, т.е. Fрасч= / . Это различие не носит принципиального характера. Важно только помнить, какой прием для анализа используется и, следовательно, каким образом дается надлежащее заключение.

Расчет с использованием компьютерной программы

Далее будем действовать привычным образом: − в главном меню запустим серию команд Сервис/Анализ данных/Регрессия; … − в появившемся диалоговом окне заполним поля ввода данных для обоих параметров у и х; для этого в каждое окно…

Лабораторная работа №3

Численное интегрирование Вычисление простых интегралов MSEXCEL

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки определения простых интегралов посредствам. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Формула трапеций

В общем виде формула трапеций на отрезке выглядит следующим образом (1):

 

В данной формуле , так как любой интеграл в общем виде выглядит (2):

 

h можно вычислить по следующей формуле: (3).

это значения соответствующей функции f(x) в точках .

На практике данный способ реализуется следующим образом:

(пример MS Excel находится в компьютерном классе кафедры)

Формула Симпсона (парабол)

В общем виде формула парабол на отрезке выглядит следующим образом (4):

 

В данной формуле , так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу 1).

h можно вычислить по формуле 2.

- это значения соответствующей функции f(x) в точках .

На практике данный способ реализуется следующим образом:

(пример MS Excel находится в компьютерном классе кафедры)

 

Формулы прямоугольников

Существует несколько видов формул прямоугольников:

 

Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом (5):

 

В данной формуле , так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу 1).

h можно вычислить по формуле 2.

- это значения соответствующей функции f(x) в точках .

Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом (6):

 

В данной формуле (см. формулу для левых прямоугольников).

h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников.

- это значения соответствующей функции f(x) в точках .

Формула средних прямоугольников.

  где В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя…

Лабораторная работа №4

Безусловная однопараметрическая оптимизация

Задача оптимального раскроя бревна на брус

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомится с методами решения нелинейных уравнений на примере метода Свенна и применения его при оптимизации раскроя бревен.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы.

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной переменной - наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точки зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итерактивных процедур многопараметрической оптимизации.

Пример. Постановка задачи оптимального раскроя бревна на брус

Бревно длиной 1₆ м имеет форму конуса, диаметры оснований которого равны соответственно d_k и d₀ м. Требуется автоматизировать процесс раскроя бревна для получения бруса квадратного поперечного сечения, ось которого совпадала бы с осью бревна и объем которого был бы наибольшим. Определить размеры бруса (рис.1).

Постановка задачи

1. В качестве показателя эффективности целесообразно использовать объем бруса, м³.

В качестве управляемой переменной задачи следует взять длину бруса . При этом длина бруса связана с поперечным размером следующими зависимостями:

где –диаметр бревна в комле, м; –диаметр бревна в вершине, м; –длина бревна, м. 3. Целевая функция:

Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем уменьшения интервала поиска, носят название методов исключения интервалов.

Все методы одномерной оптимизации основаны на предположении, что исследуемая целевая функция в допустимой области, по крайней мере, обладает свойством унимодальности, так как для унимодальной функции сравнение значений в двух различных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных двумя указанными точками подынтервалов точки оптимума отсутствуют.

Правило исключения интервалов. Пусть унимодальна на отрезке [а,b], а ее минимум достигается в точке . Рассмотрим и , расположенные .

Если , то точка минимума не лежит в
интервале , т.е. .

Если , то точка минимума не лежит в
интервале , т.е. .

Это правило позволяет реализовать процедуру поиска путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается тогда, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров.

Главное достоинство поисковых методов - они основаны на вычислении только значений функции и, следовательно, не требуют выполнения условия дифференцируемости и записи в аналитическом виде. Последнее свойство особенно ценно при имитационном моделировании.

Процесс применения методов поиска на основе исключения интервалов включает два этапа:

· этап установления границ интервала;

· этап уменьшения интервала.

Этап установления границ интервала

Выбирается исходная точка, а затем на основе правила исключения строится относительно широкий интервал, содержащий точку оптимума. Обычно используется эвристический метод, например, Свенна, в котором пробная точка определяется по рекуррентной формуле

 

где – произвольно выбранная начальная точка;

– подбираемая величина шага.

Знак определяется путем сравнения значений , , :

· если , то имеет отрицательное значение;

· если , то имеет положительное значение;

· если , то точка минимума лежит между и поиск граничных точек завершен;

· если то имеем противоречие предположению об унимодальности.

Приме. Приложение метода Свенна к задаче оптимального раскроя бревна на брус

,

при , , ,

В качестве произвольно выбранной начальной точки примем .0пределим знак :

 

 

 

Выполняется условие , следовательно, имеет отрицательное значение; .

;

 

 

Искомый интервал .

 

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.

Лабораторная работа № 5

Применение методов исключения интервалов

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: углубить представление о применения методов исключения интервалов рассмотренных в предыдущей работе. Произвести расчеты с использованием метода деления отрезка пополам и метода золотого сечения, а также сравнить значения с полученными в предыдущей работе. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Метод деления отрезка пополам

 

Найти на отрезке .

Шаг 1. вычислить .

Шаг 2 вычислить

Шаг 3

1. Если , то исключить

перейти к шагу 5.

2. Если , то перейти к шагу 4.

Шаг 4

1. Если , то исключить

перейти к шагу 5.

2. Если , то исключить

перейти к шагу 5.

Шаг 5 Если , то закончить поиск. В противном случае вернуться к шагу 2.

Как видно из алгоритма, из каждых трех значений целевой функции W, вычисленных в интервале поиска, в дальнейшем используется только два, а третье не дает дополнительной информации и в дальнейшем не используется.

 

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.

Лабораторная работа №6

Решение задач однопараметрической оптимизации методами с использованием производных

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки в решении задач методами с использованием производных, сравнить значения полученные в ходе работы. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Метод средней точки

 

Сущность метода. Основан на алгоритме исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается одна пробная точка R. Если в точке R выполняется неравенство , то вследствие унимодальности функции точка оптимума не может лежать левее точки R. Аналогично, если , то интервал можно исключить.

Пусть в интервале имеются две точки N и P, в которых производные и . Оптимальная точка х расположена между N и P.

Шаг 1. Положить , , причем и .

Шаг 2. Вычислить и

Шаг 3. Если то закончить поиск. В противном случае, если , положить и перейти к шагу 2. если положить и перейти к шагу 2.

Как следует из логической структуры, процедура поиска по методу средней точки основана на исследовании только знака производной.

ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

 

где

 

 

В интервале (см. пример) при

РЕШЕНИЕ:

 

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 2.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 3.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 4.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 5.

Шаг 2.

Шаг 3. Решение при котором , найдено с заданной точностью.

 

Метод хорд

Сущность метода. Ориентирован на нахождение корня уравнения в интервале , в котором имеются две точки N и P, в которых знаки производных различны, причем производные и . Алгоритм метода хорд позволяет аппроксимировать функцию «хордой» и найти точку, в которой секущая графика пересекает ось абсцисс.

 

Схема метода хорд

 

Шаг 1. Следующее приближение к стационарной точке определяется по формуле

 

Шаг 2. Вычислить .

Шаг 3. Если , то закончить поиск. В противном случае необходимо выбрать одну из точек P или N, чтобы знаки производных в этой точке и точке R были различны. Вернуться к шагу 1.

Как видно из алгоритма, метод хорд реализован на вычислении как знака производной, так и ее значения. Поэтому он более эффективен, чем метод средней точки.

 

ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

 

где

 

В интервале при .

 

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 2.

Шаг 2.

Шаг 3. решение , при котором найдено с заданной точностью.

 

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.

 

Лабораторная работа № 7

РЕШЕНИЕ задач линейного программирования С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки решения оптимизационных задач линейного программирования с использованием MS Excel. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Методика поиска решения в MS Excel

Для решения задач оптимизации в MS Excel используют надстройку Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Сервис»(рис. 1).

 

Рис. 1.

Если в версии Excel, установленной на Вашем компьютере, отсутствует данный подпункт меню «Сервис», необходимо вызвать пункт меню «Надстройки» и в предложенном списке дополнительных модулей выбрать «Поиск решения» (рис. 2).

 

Рассмотрим на примере использование данной надстройки. Решим с её помощью задачу, математическая модель которой строилась в примере Математическая модель задачи имеет вид:

 

Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 3.

 

Рис. 3. Шаблон оформления задачи.

Теперь занесём данную в задаче числовую информацию (рис. 4).

 

Рис. 4. Исходные данные задачи

В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых частей неравенств) необходимо занести формулы, отображающие связи и отношения между числами на рабочем листе.

Ячейки B4 – С4 называются в Excel изменяемыми (в нашей модели это неизвестные переменные), т.е., изменяя их Поиск решения будет находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).

Теперь необходимо ввести формулы. В нашей математической модели, целевая функция представляет собой произведение вектора коэффициентов на вектор неизвестных. Действительно, выражение можно рассматривать как произведение вектора (3,2) на вектор .

В Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти скалярное произведение векторов. В ячейку Е4 необходимо вызвать данную функцию, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это В5:С5) и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения (ячейки В4:С4) (рис. 5). Каждая левая часть ограничения тоже представляет собой произведение двух векторов: соответствующей строки матрицы затрат и вектора неизвестных. То есть, выражение (для первого ограничения ) будем рассматривать как произведение вектора коэффициентов (1,2) и вектора пока переменных .

 

Рис. 5. Вызов функции СУММПРОИЗВ.

В ячейке, отведенной для формулы левой части первого ограничения (D9), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В9:С9 и адрес значений переменных В4:С4 (рис. 6).

 

Рис. 6

В четыре оставшиеся ячейки графы «Левая часть» вводим аналогичные формулы, используя соответствующую строку матрицы затрат. Фрагмент экрана с введёнными формулами показан на рис.7.

 

Рис. 7

Важно! К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочем листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

В меню Сервис выбираем Поиск решения. В появившемся окне задаём следующую информацию:

1. в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции Е4;

2. «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в данном случае, целевая функция дохода подлежит максимизации;

3. в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений переменных В4:С4;

справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения (рис. 8)

 

Рис.8. Форма для занесения одного ограничения ЗЛП.

в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы для левой части первого ограничения D9, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае, <=), в поле «Ограничение» заносится ссылка на правую часть ограничения F9 (рис. 9.9).

 

Рис.9. Занесение первого ограничения задачи.

Аналогично заносятся все ограничения задачи, после чего нажимается кнопка «ОК».

Таким образом, окно «Поиск решения» с занесенной информацией выглядит следующим образом (рис. 10):

 

Рис. 10.

Далее необходимо нажать кнопку Параметры, установить «флажки» «Линейная модель» и «Неотрицательные значения», поскольку в данном случае задача является ЗЛП, а ограничение 6) требует неотрицательности значений (рис.11).

 

Рис. 11. Установка параметров

Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения (рис.12).

 

Рис. 12. Окно результата решения

Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В данном примере достаточно сохранить найденное решение, нажав «ОК». В результате получено решение задачи из примера 1.1. (рис.13).

 

Рис.13. Результат применения «Поиска решения»

Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения (рис.9.14), это означает, что при оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок» максимизации/минимизации и т.д.).

 

Рис.14. Сообщение об ошибке

В данном разделе рассмотрен общий формат решения задач оптимизации в Excel. В зависимости от экономических моделей, выполняют его соответствующие модификации.

Например, можно установить условие на целочисленность некоторых переменных.

 

Анализ отчётов по результатам, пределам и устойчивости

Анализ решения задач линейного программирования можно проводить с помощью отчетов, выдаваемых MS Excel в результате решения с помощью надстройки «Поиск решения».

Для получения отчётов в диалоговом окне «Результаты поиска решения» (см. рис. 8.12) в окне «Тип отчёта» следует выбрать соответствующий отчёт «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». После нажатия на кнопку «OK» отчёты будут представлены на отдельных листах с соответствующими названиями.

При анализе отчёта по результатам следует обратить внимание на колонку «Статус». Если статус имеет значение «связанное», то это говорит о том, что ресурс, который соответствует ограничению, был использован полностью. Т.е. этот ресурс является дефицитным.

При анализе отчёта по устойчивости следует обратить внимание на следующее.

Нормированная стоимость (часто, редуцированная стоимость, от английского: cost reduction – уменьшение затрат) показывает, насколько по модулю уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Т.е., если нормированная стоимость положительна, то увеличение соответствующей переменной приведёт к уменьшению целевой функции. Другими словами, выпуск продукта, соответствующего рассматриваемой переменной, является нерентабельным (неприбыльным).

Допустимое увеличение показывает, насколько максимально можно увеличить коэффициент целевой функции (цену продукта), чтобы структура оптимального плана осталась прежней. Допустимое уменьшение, наоборот, показывает, насколько можно максимально уменьшить коэффициент ЦФ, чтобы осталась прежней структура оптимального плана.

Теневая цена в отчётах Excel показывает, как изменится целевая функция при изменении запаса ресурса на единицу. Понятно, что если ресурс использован полностью, то теневая цена этого ресурса положительна. Допустимое увеличение и уменьшение показывают границы, в которых могут изменяться ресурсы, чтобы структура оптимального решения, т.е. номенклатура выпускаемой продукции, остались без изменений.

В отчёте по устойчивости указаны значения целевой функции при значении переменных на нижнем и верхнем пределах.

 

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.

Лабораторная работа № 8

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки решения задач линейного программирования с использования графического метода, а также закрепления полученных навыков решения задачи с использованием среды MS EXCEl

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

Теоретическое введение

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис. 2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис. 1)

 

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис. 2.1).

Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 2.1). Направление вектора совпадаетс направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора .

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

Методика решения задач ЛП графическим методом

2) Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.1). Для этого подставьте в конкретное неравенство…    

Лабораторная работа № 9

Построение сетевых моделей

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить способы задания исходных данных, основные принципы и правила построения сетевых моделей, приобрести навыки в построении и прочтении сетевого графика.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Теоретическое введение

Построение сетевой модели (структурное планирование) начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых определяется продолжительность. Работа– это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяженность во времени. По количеству затрачиваемого времени работа может быть:

• действительной, т.е. требующей затрат времени;

• фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени.

Фиктивная работа может реально существовать, например, "передача документов от одного отдела к другому". Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.

Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других.

Событие–это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.

Взаимосвязь работ и событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика(сетевой модели).

Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальными конечнымсобытиями.

Поэтому для указания конкретной работы используют код работы (i, j ), состоящий из номеров начального (i-го)и конечного (j-го) событий (рис. 1).

 

Рис.1. Кодирование работы

Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным.Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

Методические рекомендации по построению сетевых моделей

• длина стрелки не зависит от времени выполнения работы; • стрелка может не быть прямолинейным отрезком; • для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных – пунктирные стрелки;

Пример задачи

Постройте сетевую модель программы опроса общественного мнения, которая включает разработку (A; 1 день) и распечатку анкет (B; 0,5 дня), прием на работу (C; 2 дня) и обучение (D; 2 дня) персонала, выбор опрашиваемых лиц (E; 2 дня), рассылку им анкет (F; 1 день) и анализ полученных данных (G; 5 дней).

Решение

Мы выяснили, чтобы разослать анкеты (F), их надо разработать (A), распечатать (B) и выбрать опрашиваемых лиц (E), причем работу с анкетами и выбор… В результате этих рассуждений построим сетевую модель и пронумеруем события…  

Лабораторная работа № 10

Расчет и анализ сетевых моделей

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки расчета и анализа сетевых моделей, научиться определять срок выполнения проекта, проводить оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

Теоретическое введение

Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис. ):

• – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

• – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

• – резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

 

Рис1. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1) для исходного события И ;

2) для всех остальных событий I

где максимум берется по всем работам входящим в событие i; – длительность работы (рис.2).

 

Рис. 2. Расчет раннего срока свершения события i Т_р(k₁)

Поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события ;

2) для всех остальных событий

 

где минимум берется по всем работам выходящим из события i; –длительность работы (рис. 3).

 

Рис.3. Расчет позднего срока свершения события i

Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

– ранний срок начала работы;

– ранний срок окончания работы;

– поздний срок окончания работы;

– поздний срок начала работы;

– полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы , или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;

– свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы , или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называюткритическими. Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Для проведения анализа временных параметров сетевой модели используют график привязки, который отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси – отрезки, соответствующие длительностям работ (раннее начало и раннее окончание работ). График привязки можно построить на основе данных о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа , может выполняться только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы .

Общие методические рекомендации

Из вышеприведенных соображений следует способ определения критического пути на графике привязки (все найденные работы выписываются последовательно… 1) найти на графике привязки и выписать работу (i,j), которая заканчивается… 2) из всех работ сети (k,i), конечное событие которых i совпадает с начальным событием i работы (i,j), найденной в п.…

Исходные данные задачи

Решение

• необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути; • достаточное условие – нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом… Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели (см. рис. ) L1 =1,2,3,4,6,7 и L2 =1,3,4,6,7 могут быть…

Лабораторная работа № 11

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ, модель Уилсона

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получить навыки в управлении запасами на примере модели Уилсона.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

 

Теоретическое введение

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика, которая характеризуется следующими допущениями:

• интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной;

• заказ доставляется со склада, на котором хранится ранее произведенный товар;

• время поставки заказа является известной и постоянной величиной;

• каждый заказ поставляется в виде одной партии;

• затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;

• затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру;

• отсутствие запаса (дефицит) является недопустимым.

Входные параметры модели Уилсона

1) – интенсивность (скорость) потребления запаса, [ед. тов./ед. t];

2) – затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов. ед. t];

3) – затраты на осуществление заказа, включающие оформление и доставку заказа, [руб.];

4) – время доставки заказа, [ед.t].

Выходные параметры модели Уилсона

1) – размер заказа, [ед. тов.];

2) – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];

3) – период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];

4) – точка заказа, т.е. размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед. тов.].

Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа .

 

Рис. 1. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

 

Формулы модели Уилсона

, (формула Уилсона)

где – оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

 

График затрат на УЗ в модели Уилсона представлен на рис. 2

 

Рис. 2. График затрат на УЗ в модели Уилсона

 

Модель планирования экономичного размера партии

  Рис.3. Схема производственного процесса Входные параметры модели планирования экономичного размера партии

Формулы модели экономического размера партии

Основная сложность при решении задач по УЗ состоит в правильном определении входных параметров задачи, поскольку не всегда в условии их числовые…  

Пример задачи

На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук вмесяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станкес интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

 

Решение

  Частота запуска деталей в производство равна года или 11,28 месяцев

Содержание

введение. 3

Лабораторная работа № 1. 4

Лабораторная работа №2. 10

Лабораторная работа №3. 10

Лабораторная работа №4. 10

Лабораторная работа № 5. 10

Лабораторная работа №6. 10

Лабораторная работа № 7. 10

Лабораторная работа № 8. 10

Лабораторная работа № 9. 10

Лабораторная работа № 10. 10

Лабораторная работа № 11. 10

библиографический список. 10

 

Библиографический список

1. Редькин А.К. Математическое моделирование и оптимизация технологий лесозаготовок. Рек. УМО по образованию в качестве учеб. для студентов вузов. -… 2. Пошарников Ф.В. Моделирование и оптимизация процессов в лесном комплексе :… 3. Пошарников Ф.В. Научные исследования при моделировании и оптимизации процессов в лесном комплексе : Учеб. пособие /…

Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ

Методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 260100 (250401)– Лесоинженерное дело